Открыть главное меню

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Функции он ставит в соответствие функцию

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом [1], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Другое определение оператора ЛапласаПравить

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция   имеет в окрестности точки   непрерывную вторую производную  , то, как это следует из формулы Тейлора

  при  ,
  при  

вторая производная есть предел

 

Если, переходя к функции   от   переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки   рассматривать её   -мерную шаровую окрестность   радиуса   и разность между средним арифметическим

 

функции   на границе   такой окрестности с площадью границы   и значением   в центре этой окрестности  , то в случае непрерывности вторых частных производных функции   в окрестности точки   значение лапласиана   в этой точке есть предел

 

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции  , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

  где   — объём окрестности  

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в[2].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции   Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координатПравить

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве  :

 
 
где   — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координатыПравить

В цилиндрических координатах вне прямой  :

 

Сферические координатыПравить

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

 

или

 

В случае если   в n-мерном пространстве:

 

Параболические координатыПравить

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

 

Цилиндрические параболические координатыПравить

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

 

Общие криволинейные координаты и римановы пространстваПравить

Пусть на гладком многообразии   задана локальная система координат и   — риманов метрический тензор на  , то есть метрика имеет вид

  .

Обозначим через   элементы матрицы   и

 .

Дивергенция векторного поля  , заданного координатами   (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка  ) на многообразии X вычисляется по формуле

 ,

а компоненты градиента функции f — по формуле

 

Оператор Лапласа — Бельтрами на  :

 

Значение   является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

ПрименениеПравить

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

ВариацииПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата оператора набла, поскольку из такой записи непонятно, скалярное или векторное произведение подразумевается под возведением в квадрат.
  2. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.

СсылкиПравить