Матрица Кирхгофа

Матрица Кирхгофа — одно из представлений конечного графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа представляет дискретный оператор Лапласа для графа. Она используется для подсчета остовных деревьев данного графа (матричная теорема о деревьях), а также в спектральной теории графов.

Определение

Дан простой граф $\ G$ с $\ |V(G)|=n$ вершинами. Тогда матрица Кирхгофа $\ K=(k_{i,j})_{n\times n}$ данного графа будет определяться следующим образом:

\ k_{i,j}:={\begin{cases}\deg(v_{i}),&{\text{if}}\ i=j,\\-1,&{\text{if}}\ (v_{i},v_{j})\in E(G),\\0,&{\text{else}}.\end{cases}}

Также матрицу Кирхгофа можно определить как разность матриц

\ K=D-A,

где $\ A$ — это матрица смежности данного графа, а $\ D=(d_{i,j})_{n\times n}$ — матрица, на главной диагонали которой степени вершин графа, а остальные элементы — нули:

\ d_{i,j}:={\begin{cases}\deg(v_{i}),&{\text{if}}\ i=j,\\0,&{\text{else}}.\end{cases}}

Если граф является взвешенным, то определение матрицы Кирхгофа обобщается. В этом случае элементами главной диагонали матрицы Кирхгофа будут суммы весов рёбер, инцидентных соответствующей вершине. Для смежных (связанных) вершин $\ k_{i,j}=-c(v_{i},v_{j})$ , где $\ c(v_{i},v_{j})$ — это вес (проводимость) ребра. Для различных не смежных (не связанных) вершин полагается $\ k_{i,j}=0$ .

\ k_{i,j}:={\begin{cases}\sum \limits _{\begin{smallmatrix}u\in V(G)\\(v_{i},u)\in E(G)\end{smallmatrix}}\!\!\!\!\!\!c(v_{i},u),&{\text{if}}\ i=j,\\-c(v_{i},v_{j}),&{\text{if}}\ (v_{i},v_{j})\in E(G),\\0,&{\text{else}}.\end{cases}}

Для взвешенного графа матрица смежности $\ A$ записывается с учетом проводимостей ребер, а на главной диагонали матрицы $\ D$ будут суммы проводимостей ребер инцидентных соответствующим вершинам.

\ d_{i,j}:={\begin{cases}\sum \limits _{\begin{smallmatrix}u\in V(G)\\(v_{i},u)\in E(G)\end{smallmatrix}}\!\!\!\!\!\!c(v_{i},u),&{\text{if}}\ i=j,\\0,&{\text{else}}.\end{cases}}

Пример

Пример матрицы Кирхгофа простого графа.

Помеченный граф	Матрица Кирхгофа
	$\left({\begin{array}{rrrrrr}2&-1&0&0&-1&0\\-1&3&-1&0&-1&0\\0&-1&2&-1&0&0\\0&0&-1&3&-1&-1\\-1&-1&0&-1&3&0\\0&0&0&-1&0&1\\\end{array}}\right)$

Свойства

Сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы Кирхгофа равна нулю:
$\ \sum _{i=1}^{|V(G)|}k_{i,j}=0$ .

Определитель матрицы Кирхгофа равен нулю:
$\det K=0$

Матрица Кирхгофа простого графа симметрична:
$\ k_{i,j}=k_{j,i}\quad i,j=1,\ldots ,|V(G)|$ .

Все алгебраические дополнения $\ K_{(ij)}$ симметричной матрицы Кирхгофа равны между собой — постоянная матрицы Кирхгофа. Для простого графа значение данной постоянной совпадает с числом всех возможных остовов графа (см. Матричная теорема о деревьях).

Если взвешенный граф представляет собой электрическую сеть, где вес каждого ребра соответствует его проводимости, то миноры матрицы Кирхгофа позволяют вычислить резистивное расстояние $\ R_{ij}$ между точками $\ i$ и $\ j$ данной сети:
$\ R_{ij}={\frac {K^{(i,j)}}{K_{(ij)}}}$ , здесь $\ K_{(ij)}$ — постоянная (алгебраическое дополнение) матрицы Кирхгофа, а $\ K^{(i,j)}$ — алгебраическое дополнение 2-го порядка, то есть определитель матрицы, получающейся из матрицы Кирхгофа вычеркиванием двух строк и двух столбцов $\ i,j$ .

Существует алгоритм восстановления матрицы Кирхгофа по матрице сопротивлений $R_{ij}$ .
0 является собственным значением матрицы (соответствующий собственный вектор — все единицы), кратность его равна числу связных компонент графа.
Остальные собственные значения положительны. Второе по малости значение Фидлер назвал индексом связности графа, соответствующий собственный вектор — вектор Фидлера (не путать с индексом связности графа Рандича).

См. также