Глоссарий теории графов

(перенаправлено с «Простой граф»)
Эта страница — глоссарий. См. также основную статью: Теория графов

Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице).

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

АПравить

БПравить

  • Бесконечный граф — граф, имеющий бесконечно много вершин и/или рёбер.
  • Биграф — см. двудольный граф.
  • Блок — граф без шарниров.
  • Блок-дизайн с параметрами (v, k, λ) — покрытие с кратностью λ полного графа на v вершинах полными графами на k вершинах.

ВПравить

ГПравить

  • Гамильтонов граф — граф, в котором есть гамильтонов цикл.
  • Гамильтонов путь — простой путь в графе, содержащий все вершины графа ровно по одному разу.
  • Гамильтонов цикл — простой цикл в графе, содержащий все вершины графа ровно по одному разу.
  • Геометрическая реализация — фигура, вершинам которой соответствуют вершины графа, рёбрам — рёбра графа и рёбра в фигуре соединяют вершины, соответствующие вершинам в графе.
  • Геометрический граф — плоская фигура из вершин — точек плоскости и рёбер — линий, соединяющих некоторые пары вершин. Может представлять многими способами всякий граф.
  • Гиперграф — совокупность из множества вершин и множества гиперрёбер (подмножество n-й евклидовой степени множества вершин, то есть гиперрёбра соединяют произвольное количество вершин).
  • Гомеоморфные графы — графы, получаемые из одного графа с помощью последовательности подразбиений рёбер.
  • Грань — область, ограниченная рёбрами в плоском графе и не содержащая внутри себя вершин и рёбер графа. Внешняя часть плоскости тоже образует грань.
  • Граф — базовое понятие. Включает множество вершин и множество рёбер, являющееся подмножеством декартова квадрата множества вершин (то есть каждое ребро соединяет ровно две вершины).
  • Граф рода g — граф, который можно изобразить без пересечений на поверхности рода g и нельзя изобразить без пересечений ни на одной поверхности рода g-1. В частности, планарные графы имеют род 0.

ДПравить

  • Двойственный граф. Граф А называется двойственным к планарному графу В, если вершины графа А соответствуют граням графа В, и две вершины графа A соединены ребром тогда и только тогда, когда соответствующие грани графа B имеют хотя бы одно общее ребро.
  • Двудольный граф (или биграф, или чётный граф) — такой граф  , что множество вершин V разбито на два непересекающихся подмножества   и  , причём всякое ребро E инцидентно вершине из   и вершине из   (то есть соединяет вершину из   с вершиной из  ). То есть правильная раскраска графа двумя цветами. Множества   и   называются «долями» двудольного графа. Двудольный граф называется «полным», если любые две вершины из   и   являются смежными. Если  ,  , то полный двудольный граф обозначается  .
  • Двусвязный граф — связный граф, в котором нет шарниров.
  • Дерево — связный граф, не содержащий циклов.
  • Диаметр графа   — максимум расстояния между вершинами для всех пар вершин. Расстояние между вершинами — наименьшее число рёбер пути, соединяющего две вершины.
  • Длина маршрута — количество рёбер в маршруте (с повторениями). Если маршрут  , то длина M равна k (обозначается  ).
  • Длина пути — число дуг пути (или сумма длин его дуг, если последние заданы). Так для пути v1, v2, …, vn длина равна n-1.
  • Дуга — ориентированное ребро.
  • Дополнение графа — граф над тем же множеством вершин, что и исходный, но вершины соединены ребром тогда и только тогда, когда в исходном графе ребра нет.

ЕПравить

  • Ежевика неориентированного графа G — семейство связных подграфов графа G, касающихся друг друга.

ЗПравить

  • Граф-звезда — полный двудольный граф  .

ИПравить

  • Изолированная вершина — вершина, степень которой равна 0 (то есть нет рёбер, инцидентных ей).
  • Изоморфизм. Два графа называются изоморфными, если существует перестановка вершин, при которой они совпадают. Иначе говоря, два графа называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие между их вершинами и рёбрами, которое сохраняет смежность и инцидентность (графы отличаются только названиями своих вершин).
  • Инвариант графа — числовая характеристика графа или их упорядоченный вектор, характеризующая структуру графа инвариантно относительно перенумерации вершин.
  • Интервальный граф — граф, вершины которого могут быть взаимно однозначно поставлены в соответствие отрезкам на действительной оси таким образом, что две вершины инцидентны одному ребру тогда и только тогда, когда отрезки, соответствующие этим вершинам, пересекаются.
  • Инцидентность — понятие, используемое только в отношении ребра или дуги и вершины: если   — вершины, а   — соединяющее их ребро, тогда вершина   и ребро   инцидентны, вершина   и ребро   тоже инцидентны. Две вершины (или два ребра) инцидентными быть не могут. Для обозначения ближайших вершин (рёбер) используется понятие смежности.

КПравить

  • Клетка — регулярный граф наименьшего обхвата для заданной степени вершин.
  • Клика — подмножество вершин графа, полностью соединённых друг с другом, то есть подграф, являющийся полным графом.
    • Кликовое число (англ. clique number) — число (G) вершин в наибольшей клике. Другие названия — густота, плотность.
    • Максимальная клика — клика с максимально возможным числом вершин среди клик графа.
  • Колесо (обозначается Wn) — граф с n вершинами (n ≥ 4), образованный соединением единственной вершины со всеми вершинами (n-1)-цикла.
  • Колчан — просто ориентированный граф.
  • Конечный граф — граф, содержащий конечное число вершин и рёбер.
  • Конструктивное перечисление графов — получение полного списка графов в заданном классе.
  • Компонента связности графа — некоторое подмножество вершин графа, такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из вершины этого множества в вершину не из этого множества.
  • Компонента сильной связности графа, слой — максимальное множество вершин ориентированного графа, такое, что для любых двух вершин из этого множества существует путь как из первой во вторую, так и из второй в первую.
  • Контур — замкнутый путь в орграфе.
  • Корень дерева — выбранная вершина дерева; в орграфе — вершина с нулевой степенью захода.
  • Коцикл — минимальный разрез, минимальное множество рёбер, удаление которого делает граф несвязным.
  • Кратные рёбра — несколько рёбер, инцидентных одной и той же паре вершин. Встречаются в мультиграфах.
  • Кубический граф — регулярный граф степени 3, то есть граф, в котором каждой вершине инцидентно ровно три ребра.
  • k-дольный граф — граф G, у которого хроматическое число c(G)=k
  • k-связный граф — связный граф, в котором не существует набора   из   или менее вершин, такого, что удаление всех вершин   и инцидентных им рёбер нарушает связность графа. В частности, связный граф является 1-связным, а двусвязный — 2-связным.

ЛПравить

  • Лама́нов граф с n вершинами — такой граф G, что, во-первых, для каждого k любой подграф графа G, содержащий k вершин, имеет не более, чем 2k −3 ребра и, во-вторых, граф G имеет ровно 2n −3 ребра.

МПравить

  • Макси-код   — трудновычислимый полный инвариант графа, получаемый путём выписывания двоичных значений матрицы смежности в строчку с последующим переводом полученного двоичного числа в десятичную форму. Макси-коду соответствует такой порядок следования строк и столбцов, при котором полученное значение является максимально возможным.
  • Максимальное паросочетание в графе. Паросочетание называется максимальным, если любое другое паросочетание содержит меньшее число рёбер.
  • Маршрут в графе — чередующаяся последовательность вершин и рёбер  , в которой любые два соседних элемента инцидентны. Если  , то маршрут замкнут, иначе открыт.
  • Матрица достижимости орграфа — матрица, содержащая информацию о существовании путей между вершинами в орграфе.
  • Матрица инцидентности графа — матрица, значения элементов которой характеризуется инцидентностью соответствующих вершин графа (по вертикали) и его рёбер (по горизонтали). Для неориентированного графа элемент принимает значение 1, если соответствующие ему вершина и ребро инцидентны. Для ориентированного графа элемент принимает значение 1, если инцидентная вершина является началом ребра, значение -1, если инцидентная вершина является концом ребра; в остальных случаях (в том числе и для петель) значению элемента присваивается 0.
  • Матрица смежности графа — матрица, значения элементов которой характеризуются смежностью вершин графа. При этом значению элемента матрицы присваивается количество рёбер, которые соединяют соответствующие вершины (то есть которые инцидентны обоим вершинам).
  • Мини-код   — трудновычислимый полный инвариант графа, получаемый путём выписывания двоичных значений матрицы смежности в строчку с последующим переводом полученного двоичного числа в десятичную форму. Мини-коду соответствует такой порядок следования строк и столбцов, при котором полученное значение является минимально возможным.
  • Минимальный каркас (или каркас минимального веса, минимальное остовное дерево) графа — ациклическое (не имеющее циклов) множество рёбер в связном, взвешенном и неориентированном графе, соединяющих между собой все вершины данного графа, при этом сумма весов всех рёбер в нём минимальна.
  • Множество смежности вершины v — множество вершин, смежных с вершиной v. Обозначается  .
  • Минором графа называется граф, который можно получить из исходного путём удаления и стягивания дуг.
  • Мост — ребро, удаление которого увеличивает количество компонент связности в графе.
  • Мультиграф — граф, в котором может быть пара вершин, которая соединена более чем одним ребром (ненаправленным), либо более чем двумя дугами противоположных направлений.

НПравить

  • Направленный граф — ориентированный граф, в котором две вершины соединяются не более чем одной дугой.
  • Независимое множество вершин (известное также как внутренне устойчивое множество) — множество вершин графа G, в котором любые две вершины несмежны (никакая пара вершин не соединена ребром).
    • Независимое множество называется максимальным, когда нет другого независимого множества, в которое оно бы входило. Дополнение наибольшего независимого множества называется минимальным вершинным покрытием графа.
    • Наибольшим независимым множеством называется независимое множество наибольшего размера.
  • Независимые вершины — попарно несмежные вершины графа.[1]
  • Неразделимый граф — связный, непустой, не имеющий точек сочленения граф.[2].
  • Нормированный граф — ориентированный граф без циклов.
  • Нуль-граф (вполне несвязный граф, пустой граф) — регулярный граф степени 0, то есть граф, не содержащий рёбер.

ОПравить

  • Обхват — длина наименьшего цикла в графе.
  • Объединение графов (помеченных графов   и  ) — граф  , множеством вершин которого является  , а множеством рёбер —  .
  • Окрестность порядка k — множество вершин на расстоянии k от заданной вершины v; иногда толкуется расширительно как множество вершин, отстоящих от v на расстоянии не больше k.
  • Окружение — множество вершин, смежных с заданной.
  • Орграф, ориентированный граф G = (V,E) есть пара множеств, где V — множество вершин (узлов), E — множество дуг (ориентированных рёбер). Дуга — упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v → w ведёт от вершины v к вершине w, при этом вершина w смежная с вершиной v.
  • Остовное дерево (остов) (неориентированного) связного графа   — всякий частичный граф  , являющийся деревом.
  • Остовный подграф — подграф, содержащий все вершины.

ППравить

  • Паросочетание — набор попарно несмежных рёбер.
  • Петля — ребро, начало и конец которого находятся в одной и той же вершине.
  • Пересечение графов (помеченных графов   и  ) — граф  , множеством вершин которого является  , а множеством рёбер —  .
  • Перечисление графов — подсчёт числа неизоморфных графов в заданном классе (с заданными характеристиками).
  • Периферийная вершина — вершина, эксцентриситет которой равен диаметру графа.
  • Планарный граф — граф, который может быть изображён (уложен) на плоскости без пересечения рёбер. Изоморфен плоскому графу, то есть является графом с пересечениями, но допускающий его плоскую укладку, поэтому может отличаться от плоского графа изображением на плоскости. Таким образом, может быть разница между плоским графом и планарным графом при изображении на плоскости.
  • Плоский граф — геометрический граф, в котором никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины (не пересекаются). Является уложенным графом на плоскости.
  • Подграф исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер. (ср. Суграф.) По отношению к подграфу исходный граф называется суперграфом
  • Полный граф — граф, в котором для каждой пары вершин  , существует ребро, инцидентное   и инцидентное   (каждая вершина соединена ребром с любой другой вершиной).
  • Полный инвариант графа — числовая характеристика графа или их упорядоченный вектор, значения которой необходимо и достаточно для установления изоморфизма графов.
  • Полным двудольным называется двудольный граф, в котором каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества
  • Полустепень захода в орграфе для вершины   — число дуг, входящих в вершину. Обозначается  ,  ,   или  .
  • Полустепень исхода в орграфе для вершины   — число дуг, исходящих из вершины. Обозначается  ,  ,   или  .
  • Помеченный граф — граф, вершинам или дугам которого присвоены какие-либо метки, например, натуральные числа или символы какого-нибудь алфавита.
  • Порождённый подграф — подграф, порождённый множеством рёбер исходного графа. Содержит не обязательно все вершины графа, но эти вершины соединены такими же рёбрами, как в графе.
  • Порядок графа — количество вершин графа.[3]
  • Правильная раскраска графа — раскраска, при которой каждый цветной класс является независимым множеством. Иначе говоря, в правильной раскраске любые две смежные вершины должны иметь разные цвета.
  • Произведение графов — для данных графов   и   произведением называется граф  , вершины которого   — декартово произведение множеств вершин исходных графов.
  • Простая цепь — маршрут, в котором все вершины различны.
  • Простой граф — граф, в котором нет кратных рёбер и петель.
  • Простой путь — путь, все вершины которого попарно различны[4]. Другими словами, простой путь не проходит дважды через одну вершину.
    • Простой цикл — цикл, не проходящий дважды через одну вершину.
  • Псевдограф — граф, который может содержать петли и/или кратные рёбра.
  • Пустой граф (вполне несвязный граф, нуль-граф) — регулярный граф степени 0, то есть граф, не содержащий рёбер.
  • Путь — последовательность рёбер (в неориентированном графе) и/или дуг (в ориентированном графе), такая, что конец одной дуги (ребра) является началом другой дуги (ребра). Или последовательность вершин и дуг (рёбер), в которой каждый элемент инцидентен предыдущему и последующему[4]. Может рассматриваться как частный случай маршрута.
  • Путь в орграфе — последовательность вершин v1, v2, …, vn, для которой существуют дуги v1 → v2, v2 → v3, …, vn-1 → vn. Говорят, что этот путь начинается в вершине v1, проходит через вершины v2, v3, …, vn-1, и заканчивается в вершине vn.

РПравить

  • Радиус графа — минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа; вершина, на которой достигается этот минимум, называется центральной вершиной.
  • Разбиение графа — представление исходного графа в виде множества подмножеств вершин по определённым правилам.
  • Разделяющая вершина — то же, что и шарнир и точка сочленения.
  • Развёртка графа — функция, заданная на вершинах ориентированного графа.
  • Размеченный граф — граф, для которого задано множество меток S, функция разметки вершин f : A → S и функция разметки дуг g : R → S. Графически эти функции представляются надписыванием меток на вершинах и дугах. Множество меток может разделяться на два непересекающихся подмножества меток вершин и меток дуг. См. Размеченный граф.
  • Разрез — множество рёбер, удаление которого делает граф несвязным.
  • Рамочный граф — граф, который можно нарисовать на плоскости таким способом, что любая ограниченная грань является четырёхугольником и любая вершина с тремя и менее соседями инцидентна неограниченной грани.[5]
  • Раскраска графа — разбиение вершин на множества (называемые цветами). Если при этом нет двух смежных вершин, принадлежащих одному и тому же множеству (то есть две смежные вершины всегда разного цвета), то такая раскраска называется правильной.
  • Расстояние между вершинами — длина кратчайшей цепи (в орграфе пути), соединяющей заданные вершины. Если такой цепи (пути) не существует, расстояние полагается равным бесконечности.
  • Рёберное покрытие — множество рёбер графа такое, что каждая вершина инцидентна хотя бы одному ребру из этого множества.
  • Рёберный граф неориентированного графа — это граф, представляющий соседство рёбер графа.
  • Ребро — базовое понятие. Ребро соединяет две вершины графа.
  • Регулярный граф — граф, степени всех вершин которого равны. Степень регулярности является инвариантом графа и обозначается  . Для нерегулярных графов   не определено. Регулярные графы представляют особую сложность для многих алгоритмов.
    • Регулярный граф степени 0 (вполне несвязный граф, пустой граф, нуль-граф) — граф без рёбер.

СПравить

  • Самодвойственный граф — граф, изоморфный своему двойственному графу.
  • Сверхстройное (звездообразное) дерево — дерево, в котором имеется единственная вершина степени больше 2.
  • Связность. Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их (простая) цепь.
  • Связный граф — граф, в котором все вершины связаны.
  • Сечение графа — множество рёбер, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть тривиальным графом.
  • Сеть — в принципе, то же, что и граф, хотя сетями обычно называют графы, вершины которых определённым образом помечены.
    • Ориентированная сеть — ориентированный граф, не содержащий контуров.
  • Сильная связность. Две вершины в ориентированном графе сильно связаны, если существует путь из первой во вторую и из второй в первую.
    • Сильно связный орграф — орграф, в котором все вершины сильно связаны.
  • Смежность — понятие, используемое в отношении только двух рёбер либо только двух вершин: Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две вершины, инцидентные одному ребру, также называются смежными. (ср. Инцидентность.)
  • Смешанный граф — граф, содержащий как ориентированные, так и неориентированные рёбра.
  • Совершенное паросочетание — паросочетание, содержащее все вершины графа.
  • Соединением двух графов   и  , не имеющих общих вершин, называется граф  .[6]

Из определения видно, что соединение графов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности

  • Спектр графа — множество всех собственных значений матрицы смежности с учётом кратных рёбер.
  • Степень вершины — количество рёбер графа G, инцидентных вершине x. Обозначается  . Минимальная степень вершины графа G обозначается  . а максимальная —  .
  • Стягивание ребра графа — замена концов ребра одной вершиной, соседями новой вершины становятся соседи этих концов. Граф   стягиваем к  , если второй можно получить из первого последовательностью стягиваний рёбер.
  • Суграф (частичный граф) исходного графа — граф, содержащий все вершины исходного графа и подмножество его рёбер. (ср. Подграф.)
  • Суперграф — любой граф, содержащий исходный граф (то есть для которого исходный граф является подграфом)

ТПравить

  • Тета-граф — граф, состоящий из объединения трёх путей, не имеющих внутри общих вершин, у которых конечные вершины одни и те же[7]
  • Тета-граф множества точек евклидовой плоскости строится как система конусов, окружающих каждую вершину с добавлением ребра для каждого конуса к точке множества, проекция которой на центральную ось конуса минимальна.

УПравить

  • Узел — то же, что и Вершина.
  • Укладка, или вложение графа: граф укладывается на некоторой поверхности, если его можно нарисовать на этой поверхности так, чтобы рёбра графа при этом не пересекались. (См. Планарный граф, Плоский граф.)
  • Укрытие — определённый тип функции на множествах вершин неориентированного графа. Если укрытие существует, его может использовать беглец чтобы выиграть игру преследования-уклонения на графе путём использования этой функции на каждом шаге игры для определения безопасных множеств вершин, куда можно перейти.
  • Упорядоченный граф — граф, в котором рёбра, выходящие из каждой вершины, однозначно пронумерованы, начиная с 1. Рёбра считаются упорядоченными в порядке возрастания номеров. При графическом представлении часто рёбра считаются упорядоченными в порядке некоторого стандартного обхода (например, против часовой стрелки).

ФПравить

ХПравить

  • Хроматическое число графа — минимальное количество цветов, требуемое для раскраски вершин графа, при которой любые вершины, соединенные ребром, раскрашены в разные цвета.
  • Характеристический многочлен графа — характеристический многочлен его матрицы смежности.

ЦПравить

  • Центр графа — множество вершин  , для которых справедливо равенство:  , где   — эксцентриситет вершины, а   — радиус графа.
  • Цепь в графе — маршрут, все рёбра которого различны. Если все вершины (а тем самым и рёбра) различны, то такая цепь называется простой (элементарной). В цепи   вершины   и   называются концами цепи. Цепь с концами u и v соединяет вершины u и v. Цепь, соединяющая вершины u и v, обозначается  . Для орграфов цепь называется орцепью.
    В некоторых источниках простая цепь — цепь, рёбра которой различны, что является более слабым условием.
  • Цикл — замкнутая цепь. Для орграфов цикл называется контуром.
  • Цикломатическое число графа — минимальное число рёбер, которые надо удалить, чтобы граф стал ациклическим. Для связного графа существует соотношение:   где   — цикломатическое число,   — число компонент связности графа,   — число рёбер, а   — число вершин.

ЧПравить

ШПравить

ЭПравить

  • Эйлеров граф — граф, в котором существует цикл, содержащий все рёбра графа по одному разу (вершины могут повторяться).
  • Эйлерова цепь (или эйлеров цикл) — цепь (цикл), которая содержит все рёбра графа (вершины могут повторяться).
  • Эксцентриситет вершины — максимальное из всех минимальных расстояний от других вершин до данной вершины.
  • Элементарный путь — путь, вершины которого, за исключением, быть может, первой и последней, различны. Другими словами, простой путь не проходит дважды через одну вершину, но может начаться и закончиться в одной и той же вершине, в таком случае он называется циклом (элементарным циклом).
  • Элементарным стягиванием называется такая процедура: берём ребро (вместе с инцидентными ему вершинами, например, u и v) и «стягиваем» его, то есть удаляем ребро и отождествляем вершины u и v. Полученная при этом вершина инцидентна тем рёбрам (отличным от), которым первоначально были инцидентны u или v.

СсылкиПравить

  1. Дистель Р. Теория графов Пер. с англ. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. — С. 17.
  2. Харари Ф. Теория графов. — М.: Мир, 1972. — С. 41.
  3. Дистель Р. Теория графов Пер. с англ. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. — С. 16.
  4. 1 2 Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. / Дискретная математика для инженера. / М.: Энергия, 1980—344 с., ил. Стр. 120—122
  5. А. В. Карзанов. Расширения конечных метрик и задача о размещении оборудования // Труды ИСА РАН. — 2007. — Т. 29. — С. 225—244 (241).
  6. М. Б. Абросимов. О минимальных вершинных 1-расширениях соединений графов специального вида. // Прикладная теория графов.. — 2011. — Вып. 4.
  7. J. A. Bondy. . — Springer, 1972. — Т. 303. — С. 43–54. — (Lecture Notes in Mathematics). — doi:10.1007/BFb0067356.
  8. H.-J. Bandelt, V. Chepoi, D. Eppstein. Combinatorics and geometry of finite and infinite squaregraphs // SIAM Journal on Discrete Mathematics. — 2010. — Т. 24, вып. 4. — С. 1399–1440. — doi:10.1137/090760301. — arXiv:0905.4537..

ЛитератураПравить

  • Дистель Р. Теория графов Пер. с англ. − Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2002. − 336 c.
  • Харари Ф. Теория графов. — М.: УРСС, 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.