Открыть главное меню

Уравне́ние Пуассо́наэллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

где оператор Лапласа, или лапласиан, а вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме и уравнение Пуассона принимает вид:

Если стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Содержание

ЭлектростатикаПравить

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Нахождение   для данного   — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

 

где   — электростатический потенциал (в вольтах),   — объёмная плотность зарядакулонах на кубический метр), а  диэлектрическая проницаемость вакуумафарадах на метр).

В единицах системы СГС:

 

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

 

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

 

Уравнение Пуассона выводится из закона Гаусса и определения статического потенциала:

 
 

Потенциал точечного зарядаПравить

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

 

— то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при  ) функция Грина

 

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

 

где   - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а  

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

 
 
  • Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
  • Физический смысл последней формулы - применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов  .

Потенциал гауссовой объёмной плотности зарядаПравить

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда  :

 

где   — общий заряд, тогда решение   уравнения Пуассона:

 

даётся:

 

где  функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением  . Заметьте, что для  , много больших, чем  ,   приближается к единице, и потенциал   приближается к потенциалу точечного заряда  , как и можно было ожидать.

См. такжеПравить

СсылкиПравить

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9