Уравне́ние Пуассо́наэллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает

Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид:

где — искомая функция, оператор Лапласа, или лапласиан, а — заданная вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме (оператор набла) и уравнение Пуассона принимает вид:

Уравнение Пуассона с называется уравнением Лапласа:

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Уравнение Пуассона в электростатике

править

Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Оно широко используется для нахождения электростатического потенциала   ( радиус-вектор) для известного распределения заряда.

В единицах системы СИ:

 

где   — электростатический потенциал (в вольтах),   — объёмная плотность зарядакулонах на кубический метр), а  диэлектрическая проницаемость вакуумафарадах на метр). То есть в данном случае роль искомой функции   играет  , а роль функции   перенимает  .

В единицах системы СГС то же электростатическое уравнение Пуассона записывается как  . Ниже используется только СИ.

Вывод уравнения для потенциала

править

Уравнение выводится из закона Гаусса (  и определения статического потенциала ( )[1]:

 

В области пространства, где нет «непарной» плотности заряда, а именно локальные положительные заряды скомпенсированы локальными отрицательными (допустим, ионный заряд локально скомпенсирован электронным):

 

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

 

Случай точечного заряда и обобщение

править

Известно, что потенциал, источником которого служит точечный электрический заряд  , имеет вид

 .

Такой потенциал, называемый кулоновским, есть по сути (а строго говоря при  ) функция Грина

 

для уравнения Пуассона, то есть решение уравнения

 

где   — обозначение дельта-функции Дирака. Произведение трёх дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а  .

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

 
 

Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.

Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов  .

Случай гауссовой плотности заряда

править

Для практически важного случая сферически симметричного гауссова распределения заряда  :

 

где   — общий заряд, решение   уравнения Пуассона:

 

даётся выражением:

 

где  функция ошибок. Это решение можно проверить напрямую вычислением  . Для  , много больших, чем  ,   приближается к единице, и потенциал   приближается к потенциалу точечного заряда  , как и следовало ожидать.

Уравнение Пуассона в других областях

править

Сфера электростатики — не единственная область применения уравнения Пуассона. В числе других областей — расчёт гравитационного потенциала  ; его градиент определяет напряжённость гравитационного поля.

Потенциал  , создаваемый точечной массой  , расположенной в начале координат, равен

 

где  гравитационная постоянная,   — расстояние от начала координат. На бесконечности потенциал такого вида обращается в ноль. В общем случае произвольного распределения массы, описываемого координатно-зависимой плотностью   (кг/м3), уравнение Пуассона записывается:

 

С точностью до замены   и изменения смысла величины   («плотность заряда»   «плотность массы»), уравнение подобно соответствующему электростатическому уравнению. Правда, в случае гравитационных сил не бывает ситуации отталкивания, но на решении этот факт никак не сказывается.

Решение такой же вид, как и в электростатике:

 

Рассмотрение уравнения Пуассона в остальных упоминавшихся в преамбуле областях физики может быть выполнено аналогично, только со специфическим для конкретной области смыслом входящих в него величин.

См. также

править

Примечания

править
  1. А. М. Макаров, Л. А. Лунева. Основы электромагнетизма : Том 3 курса системы открытого образования "Физика в техническом университете" : [арх. 30 июля 2020]. — МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.

Ссылки

править
  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9