Обсуждение:Уравнение Пуассона

Когда в качестве многообразия выступает Евклидово пространство, оператор Лапласа часто обозначается как $\nabla ^{2}$

Эту фразу не понимаю. Объясните пожалуйста, кто понял! Rivercarry 08:08, 11 февраля 2010 (UTC)

Ну, оператор Лапласа от скаляра $\triangle =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$, правда не знаю, в чём отличие в неевклидовой геометрии. infovarius 20:29, 11 февраля 2010 (UTC)

Я просто всегда думал, что $\triangle =\nabla ^{2}$ абсолютно одинаковые обозначения, и их можно спокойно менять друг на друга. А вот тут оказывается, что есть какая-то тонкость. Только вот какая? Rivercarry 20:39, 11 февраля 2010 (UTC)

В статье с самого начала - только евклидовы пространства, поэтому обсуждаемое замечание в данном контексте не имеет смысла. Вообще же говоря, в римановых пространствах оператор Лапласа-Бельтрами также имеет вид div grad, однако это несколько отличается от $\nabla ^{2}$. Подробнее, пусть на X задана локальная система координат и $g_{ij}$ - риманов метрический тензор на X, т. е. метрика имеет вид

$ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ .

Обозначим через $g^{ij}$ элементы матрицы $(g_{ij})^{-1}$ и

$g=detg_{ij}=(detg^{ij})^{-1}$.

Дивергенция векторного поля $F^{i}(=F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}})$ на многообразии X вычисляется по формуле

$divF={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})$,

а компоненты градиента функции f - по формуле

$(\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}$

Оператор Лапласа-Бельтрами

$\triangle f=div(\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}})$

А в статье надо убрать про неевклидовость. Убираю. Agor153 23:44, 12 февраля 2010 (UTC)

PS. Данное уточнение относится и к криволинейным координатам в плоском пространстве. Agor153 00:13, 13 февраля 2010 (UTC)

Спасибо большое! Rivercarry 08:31, 13 февраля 2010 (UTC)

Теперь я не понял. Пока я не вижу отличий в указанных выражениях от $\nabla \cdot \nabla$. infovarius 21:09, 13 февраля 2010 (UTC)

Могу лишь попросить сравнить выражения для div F и для градиента функции f. Если они оба - один и тот же $\nabla$ ($\nabla \cdot F$ и $\nabla f$), то объясните, как Вы это видите (в определенном смысле Вы правы, но что такое тогда $\cdot$ и почему, и откуда берется множитель ${\sqrt {g}}$, например).Agor153 22:07, 17 февраля 2010 (UTC)