Криволинейная система координат

Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты, — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты не противопоставляются прямолинейным, последние являются частным случаем первых. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.

Локальные свойства криволинейных координатПравить

При рассмотрении криволинейных координат в данном разделе мы будем полагать, что рассматриваем трёхмерное пространство (n=3), снабженное декартовыми координатами x, y, z. Случай других размерностей отличается лишь количеством координат.

В случае евклидова пространства метрический тензор, именуемый также квадратом дифференциала дуги, будет в этих координатах иметь вид, соответствующий единичной матрице:

 

Общий случайПравить

 
Криволинейные координаты в трёхмерном аффинном пространстве

Пусть  ,  ,   — некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданными гладкими функциями от x, y, z. Для того, чтобы три функции  ,  ,   служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:

 

где   — функции, определённые в некоторой области наборов   координат.

Локальный базис и тензорный анализПравить

В тензорном исчислении можно ввести вектора локального базиса:   , где   — орты декартовой системы координат,   — матрица Якоби,   координаты в декартовой системе,   — вводимые криволинейные координаты.
Нетрудно видеть, что криволинейные координаты, вообще говоря, меняются от точки к точке.
Укажем формулы для связи криволинейных и декартовых координат:
 
  где  , где Е — единичная матрица.
Произведение двух векторов локального базиса образует метрическую матрицу:
 
 
 , где   контравариантный, ковариантный и смешанный символ Кронекера
Таким образом любое поле тензора   ранга n можно разложит по локальному полиадному базису:
 
Например, в случае поле тензора первого ранга (вектора) :
 

Ортогональные криволинейные координатыПравить

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты.
В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в  

Коэффициенты ЛамеПравить

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

 

Принимая во внимание ортогональность систем координат (  при  ) это выражение можно переписать в виде

 

где

 

Положительные величины  , зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах  , представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:

 
  для ij
, то есть  

ПримерыПравить

Полярные координаты (n=2)Править

Основная статья: Полярные координаты

Полярные координаты на плоскости включают расстояние r до полюса (начала координат) и направление (угол) φ.

Связь полярных координат с декартовыми:

 

Коэффициенты Ламе:

 

Дифференциал дуги:

 

В начале координат функция φ не определена. Если координату φ считать не числом, а углом (точкой на единичной окружности), то полярные координаты образуют систему координат в области, полученной изо всей плоскости изъятием точки начала координат. Если всё-таки считать φ числом, то в обозначенной области оно будет многозначно, и построение строго в математическом смысле системы координат возможно лишь в односвязной области, не включающей начало координат, например, на плоскости без луча.

Цилиндрические координаты (n=3)Править

Цилиндрические координаты являются тривиальным обобщением полярных на случай трёхмерного пространства путём добавления третьей координаты z. Связь цилиндрических координат с декартовыми:

 

Коэффициенты Ламе:

 

Дифференциал дуги:

 

Сферические координаты (n=3)Править

Основная статья: Сферические координаты

Сферические координаты связаны с координатами широты и долготы на единичной сфере. Связь сферических координат с декартовыми:

 

Коэффициенты Ламе:

 

Дифференциал дуги:

 

Сферические координаты, как и цилиндрические, не работают на оси z {x=0, y=0}, поскольку координата φ там не определена.

Различные экзотические координаты на плоскости (n=2) и их обобщенияПравить

Ортогональные:

Прочие:

Криволинейные координаты с точки зрения дифференциальной геометрииПравить

Криволинейные координаты, определённые в различных областях евклидова (аффинного) пространства, можно рассматривать как применение к пространству понятия гладкого многообразия. А именно, как построение атласа карт.

ЛитератураПравить

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.