Символ Кронекера

Символ Кро́некера (или дельта Кронекера или кронекериа́н) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае[1]:

Например, , но .

Использование

править

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса  , а также — в общем случае — для определения дуальных базисов  , где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n:   (элементы единичной матрицы записываются как  ).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор[2]. В частности, могут использоваться различные написания   для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае   — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех)[3].

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

править

Символ был введён Кронекером в 1866 году[1].

Примечания

править
  1. 1 2 Символ Кронекера // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. Медведев Б. В. Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — С. 186. — ISBN 978-5-9221-0770-9.
  3. Последнее верно лишь для случая положительно определённых метрик, тогда как понятие ортонормированности базиса часто распространяют и на случай псевдоевклидовых пространств, что уже не имеет прямого отношения к символу Кронекера.

См. также

править