Ноль

Символы со сходным начертанием: O · o · Ο · ο · О · о · Օ · օ · ס · ه · ዐ · ഠ · ဝ · ㅇ · ᴑ

Ноль (0, нуль от лат. nullus — никакой) — целое число, которое при сложении с любым числом или вычитании из него не меняет последнее, то есть даёт результат, равный этому последнему; умножение любого числа на ноль даёт ноль.

0
ноль
← -2 · -1 · 0 · 1 · 2 →
Двоичное	0
Восьмеричное	0
Шестнадцатеричное	0
Медиафайлы на Викискладе

• «Существуют две формы: ноль и нуль. В терминологическом значении (особенно в косвенных падежах) обычно используется вторая, например: равняется нулю, температура держится на нуле».
• «…производное прилагательное обычно образуется от формы нуль, например: нулевой меридиан, нулевая отметка».

Большой толковый словарь Кузнецова (2009) приводит обе формы слова: ноль, нуль — как равнозначные, хотя имеется некоторое различие в употреблении. В частности, форма нуль чаще используется в терминологии, особенно в косвенных падежах, она же берётся как основа для образования прилагательного нулевой — соответственно, форма ноль чаще употребляется в именительном падеже (см. врезку).

Ноль играет исключительно важную роль в математике и физике.

Ноль в математике

Принадлежность к натуральным числам

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — одни авторы причисляют ноль к натуральным числам, другие этого не делают. В российских школьных программах по математике не принято причислять ноль к натуральным числам, хотя это затрудняет некоторые формулировки (например, приходится различать деление с остатком и деление нацело). В качестве компромисса в источниках иногда рассматривают «расширенный натуральный ряд», включающий нуль.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом $\mathbb {N}$. Международные стандарты ISO 31-11 (1992 год) и ISO 80000-2 (2009 год) устанавливают следующие обозначения:

• $\mathbb {N}$ — натуральные числа, включая ноль: $\{0,1,2,3,4\dots \}$.
• $\mathbb {N^{*}}$ — натуральные числа без нуля: $\{1,2,3,4\dots \}$.

В русских источниках этот стандарт пока не соблюдается — в них символ $\mathbb {N}$ обозначает натуральные числа без нуля, а расширенный натуральный ряд обозначается, например, $\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0}$ и т. д.

Ноль как цифра

Понятие нуля исторически появилось как особый цифровой символ, необходимый при записи чисел в позиционной системе счисления. Этот символ указывал на отсутствие значения в соответствующем разряде, что позволяло не путать, например, записи $4,40,400.$ Придание нулю статуса полноценного числа происходит постепенно в начале Нового времени.

Основные свойства нуля

• 0 — целое число.
• На числовой прямой 0 разделяет положительные и отрицательные числа.

• Ноль является чётным числом, поскольку при делении его на 2 получается целое число: $0/2=0$.
• Ноль не имеет знака. Могут использоваться условные обозначения отрицательной и положительной бесконечно малой величины: $-0$, $+0$, однако это не числа в обычном смысле.
• Любое число при сложении с нулём не меняется: $a+0=0+a=a.$ При вычитании нуля из любого числа получается то же число: $a-0=a$.
• Умножение любого числа на ноль даёт ноль:

$a\cdot 0=0\cdot a=0.$

• При делении нуля на любое ненулевое число получается ноль:

$0/a=0$ при $a\neq 0.$

Деление на ноль

• Деление на ноль невозможно ни в каком поле или кольце, включая поля действительных и комплексных чисел.

В самом деле, если обозначить ${\frac {a}{0}}=b$, то по определению деления формально должно быть $b\cdot 0=a$, в то время как выражение $b\cdot 0$, при любом $b$, равно нулю. Другими словами, для нуля не существует обратного элемента ни в каком поле.

• Деление на ноль ненулевого комплексного числа возможно на расширенной комплексной плоскости, его результат — бесконечно удалённая точка.

Значения отдельных функций

• Результат возведения любого числа (кроме нуля) в нулевую степень равен единице: $a^{0}=1$.
  • Выражение $0^{0}$ (ноль в нулевой степени) принято считать лишённым смысла, то есть неопределённым.

Связано это с тем, что функция двух переменных $x^{y}$ в точке $\{0,0\}$ имеет неустранимый разрыв.

В самом деле, вдоль положительного направления оси $X,$ где $y=0,$ она равна единице, а вдоль положительного направления оси $Y,$ где $x=0,$ она равна нулю. См. подробнее статью Ноль в нулевой степени.

• Факториал нуля, по соглашению, принят равным единице: $0!=1$.

Ноль в геометрии

• Точку можно рассматривать как нульмерный объект.
• Точка плоскости с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной оси. Обе нулевые координаты задают точку, именуемую началом координат.
• Точка трёхмерного пространства с одной нулевой координатой лежит на соответствующей координатной плоскости. Точка трёхмерного пространства вновь именуется началом координат, если все её координаты нулевые.
• Аналогичные утверждения верны для пространства любой размерности.
• На окружности расположения 0° и 360° совпадают.

Ноль в математическом анализе

• При вычислении предела отношения $(a/b)$, где $a\rightarrow 0$ и $b\rightarrow 0$, возникает ситуация, когда непосредственная подстановка даёт выражение $(0/0)$, значение которого не определено. В процессе раскрытия неопределённостей возможны семь таких ситуаций, и в четырёх из них формально присутствует ноль: $\left({\frac {0}{0}}\right)$, $(0^{0})$, $(\infty ^{0})$, $(0\cdot \infty )$.
• Также возможна вполне определённая ситуация, когда рассматривается односторонний (правый или левый) предел бесконечно малой величины:

• Правый предел: $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ _ или _ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}+0}]{}}+\infty$.
• Левый предел: $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ _ или _ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow {}}-0}]{}}-\infty$.

Обобщения (ноль в общей алгебре)

Аналог нуля может существовать в любом множестве, на котором определена операция сложения; в общей алгебре такой элемент иногда называется нейтральным элементом, иногда — аддитивным нулём, чаще всего — нулём относительно сложения. Примеры такого элемента — нулевой вектор и нулевая матрица. (Если же на множестве определена операция умножения, в качестве аналога нуля можно рассматривать мультипликативную единицу, или единицу относительно умножения — при наличии таковой.)

Алгебраические структуры, снабженные и сложением, и умножением, также могут содержать аналог нуля. Нулевой элемент содержит любое кольцо и его частные случаи — тело и поле. Например, квадратная нулевая матрица размера $n\times n$ является нулевым элементом кольца квадратных матриц $M_{n}(R)$. Кольцо многочленов также имеет нулевой элемент — многочлен с нулевыми коэффициентами, или нулевой многочлен, $p(x)\equiv 0$.

История использования нуля

История цифры 0

Цифра 0 появилась одновременно с появлением позиционной (поместной) нумерации — десятичной в Индии и шестидесятиричной в Вавилоне.

Древний Восток

Вавилонские математики использовали особый клинописный значок для шестидесятеричного нуля, начиная примерно с 300 г. до н. э., а их учителя-шумеры, вероятно, сделали это ещё раньше. Однако символ «двойной клин» вавилонских мудрецов никогда не означал «число 0».

Цифра 0 отсутствовала в римской, греческой и китайской системах обозначения чисел. Без этой цифры обходились, назначая некоторым символам значения крупных чисел. Например, число 100 в греческой системе счисления обозначалось буквой Ρ, в Римской — буквой C, в китайской — иероглифом 百.

Майя и инки

Пустая раковина — знак нуля в системе счисления майя

Майя использовали ноль в своей двадцатеричной системе счисления почти на тысячелетие раньше индийцев. Первая сохранившаяся стела с датой календаря майя датируется 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль 8 декабря 36 года до н. э..

Любопытно, что тем же самым знаком математики майя обозначали и бесконечность, так как этот знак означал не ноль в европейском понимании слова, а «начало», «причину». Счёт дней месяца в календаре майя начинался с нулевого дня, который назывался Ахау.

В империи инков Тауантинсуйу для записи числовой информации использовалась узелковая система кипу, основанная на позиционной десятеричной системе счисления. Цифры от 1 до 9 обозначались узелками определённого вида, ноль — пропуском узелка в нужной позиции. В современном кечуа ноль обозначается словом кечуа ch'usaq (букв. «отсутствующий», «пустой»), однако то, какое слово использовалось инками для обозначения нуля при чтении кипу, пока неясно, поскольку, например, в одних из первых кечуа-испанских (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) словарях и первом аймара-испанском (Лудовико Бертонио, 1612) не было соответствия для испанского «cero» — «ноль».

Индия

Впервые цифра «ноль» появилась в Индии, где именовалась санскритским словом «сунья» («пустота»; «отсутствие»), и широко использовался в поэзии и священных текстах. Исследования показали, что манускрипт Бакхшали содержит, вероятно, самое древнее упоминание ноля. Без нуля была бы невозможна изобретённая в Индии десятичная позиционная запись чисел. Первый код нуля обнаружен в индийской записи от 876 г. н. э., он имеет вид привычного нам кружочка.

От индийцев через арабов, называвших цифру 0 «сифр» (отсюда слова «цифра» и лат. zero, ноль), она попала в Западную Европу.

Европа

В Вене хранится рукописная арифметика XV века, приобретённая в Константинополе (Стамбуле), в которой употребляются греческие числовые знаки вместе с обозначением нуля точкой. В латинских переводах арабских трактатов XII века знак нуля — 0 называется кружком — circulus. В оказавшем очень большое влияние на преподавание арифметики в западных странах руководстве Сакробоско (Holywood, умер в 1256 году), написанном в 1250 году и перепечатывавшемся в очень многих странах, ноль называется «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, или тека, или кружок, или цифра, или знак ничего. Термин nulla figura — никакой знак — появляется в рукописных латинских переводах и обработках арабских трудов в XII века. Термин nulla имеется в рукописи Никола Шюке 1484 года и в первой печатной так называемой (по месту издания) Тревизской арифметике (1478).

С начала XVI века слово «ноль» входит в повсеместное употребление в Германии и в других странах, сначала как слово чужое и в латинской грамматической форме, но постепенно оно принимает форму, свойственную данному национальному языку.

Россия

Леонтий Магницкий в своей «Арифметике» называет знак 0 «цифрой или ничем» (первая страница текста); на второй странице в таблице, в которой каждой цифре даётся название, 0 называется «низачто». В конце XVIII века во втором русском издании «Сокращения первых оснований математики» X. Вольфа (1791) нуль ещё называется цифрой. В математических рукописях XVII века, употребляющих индийские цифры, 0 называется «оном» вследствие сходства с буквой о.

История числа 0

Хотя в египетской системе счисления цифра 0 отсутствует, египетские математики уже со Среднего царства (начало II тысячелетия до н. э.) использовали для обозначения числа «нуль» иероглиф нфр («прекрасный»), также означавший начало отсчёта в схемах храмов, пирамид и гробниц.

Своеобразные коды нуля использовали ещё до нашей эры древние майя и их соседи в Центральной Америке (древние майя обозначали ноль стилизованным изображением ракушки).

Хотя в китайских записях чисел цифра «нуль» отсутствует, для обозначения числа «нуль» пользуются знаком 〇 — одним из иероглифов императрицы У Цзэтянь.

В Древней Греции число 0 известно не было. В астрономических таблицах Клавдия Птолемея пустые клетки обозначались символом ο (буква омикрон, от др.-греч. οὐδέν — ничего); не исключено, что это обозначение повлияло на появление цифры «нуль», однако большинство историков признаёт, что десятичный нуль изобрели индийские математики.

В Европе долгое время 0 считался условным символом и не признавался числом; даже в XVII веке Валлис писал: «Нуль не есть число». В арифметических трудах отрицательное число истолковывалось как долг, а ноль — как ситуация полного разорения. Полному уравниванию его в правах с другими числами особенно способствовали труды Леонарда Эйлера.

См. также

• −0 и +0 — понятия в математическом анализе.
• Беззнаковое число
• Делитель нуля
• Машинный ноль
• Чётность нуля

Литература

• Чарльз Сейфе. Ноль. Биография опасной идеи = Zero: The Biography of a Dangerous Idea. — Neoclassic, АСТ, 2014. — 288 с. — ISBN 978-5-17-083294-1.
• Нуль // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 219. — 352 с.
• Ламберто Гарсия дель Сид. Первые натуральные числа и их значение → 0 — двусмысленное число // Замечательные числа. Ноль, 666 и другие бестии. — DeAgostini, 2014. — Т. 21. — С. 14—15. — 159 с. — (Мир математики). — ISBN 978-5-9774-0716-8.
• David Wells. 0 // The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. — Penguin Books, 1986. — С. 23—26. — 229 с. — ISBN 0-14-008029-5.

Ссылки

• История нуля
• Почему нельзя делить на ноль?
• Символика чисел (нуль) /С. Курий/ «Время Z» № 2/2007
• О сопоставлении понятий «нуль» и «ничто» Смирнов О. А. — Научная сессия МИФИ-2003.
• Свойства числа ноль
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. A history of Zero (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (ноябрь 2000).