Открыть главное меню

Систе́ма счисле́ния (англ. numeral system или system of numeration) — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Индо-арабская
Арабская
Тамильская
Бирманская
Кхмерская
Лаосская
Монгольская
Тайская
Восточноазиатские
Китайская
Японская
Сучжоу
Корейская
Вьетнамская
Счётные палочки
Алфавитные
Абджадия
Армянская
Ариабхата
Кириллическая
Греческая
Грузинская
Эфиопская
Еврейская
Акшара-санкхья
Другие
Вавилонская
Египетская
Этрусская
Римская
Дунайская
Аттическая
Кипу
Майяская
Эгейская
Символы КППУ
2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 60
Нега-позиционная
Симметричная
Фибоначчиева
Единичная (унарная)

Система счисления:

Системы счисления подразделяются на:

Содержание

Позиционные системы счисленияПравить

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у арабов.

Под позиционной системой счисления обычно понимается  -ичная система счисления, которая определяется целым числом  , называемым основанием системы счисления. Целое число без знака   в  -ичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа  :

 , где   — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству  .

Каждая степень   в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя   (номером разряда). Обычно в записи ненулевых чисел начальные нули опускаются.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число   записывают в виде последовательности его  -ичных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

 

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

 

Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Смешанные системы счисленияПравить

Смешанная система счисления является обобщением  -ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел  , и каждое число   в ней представляется как линейная комбинация:

 , где на коэффициенты  , называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.

Записью числа   в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса  , начиная с первого ненулевого.

В зависимости от вида   как функции от   смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда   для некоторого  , смешанная система счисления совпадает с показательной  -ичной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина «  дней,   часов,   минут,   секунд» соответствует значению   секунд.

Факториальная система счисленияПравить

В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов  , и каждое натуральное число   представляется в виде:

 , где  .

Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: номер перестановки (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе   будет обозначать число инверсий для элемента   в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших  , но стоящих правее его в искомой перестановке).

Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 — (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 — (5,4,3,2,1)), найдём перестановку с номером 100:

 

положим   — коэффициент при числе  , тогда  ,  ,  ,  , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) — таким образом, перестановка с номером 100 будет иметь вид: (5,3,1,2,4) Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

Фибоначчиева система счисленияПравить

Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. Каждое натуральное число   в ней представляется в виде:

 , где   — числа Фибоначчи,  , при этом в коэффициентах   есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

Непозиционные системы счисленияПравить

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

Биномиальная система счисленияПравить

В биномиальной системе счисления (англ.) число x представляется в виде суммы биномиальных коэффициентов:

 , где  

При всяком фиксированном значении   каждое натуральное число представляется уникальным образом.[1]

Система остаточных классов (СОК)Править

Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором попарно взаимно простых модулей   с произведением   так, что каждому целому числу   из отрезка   ставится в соответствие набор вычетов  , где

 
 
 

При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка  .

В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в  .

Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленных в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям  .

Система счисления Штерна-БрокоПравить

Система счисления Штерна-Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна-Броко.

Системы счисления разных народовПравить

Единичная система счисленияПравить

По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т. д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком — так возникают прообразы будущих цифр.

Древнеегипетская система счисленияПравить

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи.[2]

Вавилонская система счисленияПравить

Алфавитные системы счисленияПравить

Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия), индийцы (акшара-санкхья) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы.[2]

Еврейская система счисленияПравить

Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. также Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.

Греческая система счисленияПравить

Греческая система счисления, также известная как ионийская или новогреческая — непозиционная система счисления. Алфавитная запись чисел, в которой в качестве символов для счёта, употребляют буквы классического греческого алфавита, а также некоторые буквы доклассической эпохи, такие как ϛ (стигма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи).

Римская система счисленияПравить

Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
I обозначает 1,
V — 5,
X — 10,
L — 50,
C — 100,
D — 500,
M — 1000

Например, II = 1 + 1 = 2
здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

IV = 4, в то время как:
VI = 6

Система счисления майяПравить

Майя использовали 20-ичную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

Кипу инковПравить

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы[3], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования[4]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных[5]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись[6].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ландо С. К. Глава 1. Задача 1.13 // Лекции о производящих функциях. — 3-е изд., испр.. — М.: МЦНМО, 2007. — 144 с. — ISBN 978-5-94057-042-4. (недоступная ссылка)
  2. 1 2 Системы счисления. Как считали в Древней Руси. Алфавитные системы счисления.
  3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3.
  4. Experts 'decipher' Inca strings. Архивировано 18 августа 2011 года.
  5. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus. - стр.49.
  6. Dale Buckmaster. The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis (англ.) // Journal of Accounting Research (англ.) : journal. — 1974. — Vol. 12, no. 1. — P. 178—181.

СсылкиПравить