Показательная функция

Показательная функция — математическая функция , где называется основанием степени, а  — показателем степени.

  • В вещественном случае основание степени  — некоторое неотрицательное вещественное число (для отрицательных чисел возведение в вещественную нецелочисленную степень не определено), а аргументом функции является вещественный показатель степени.
  • В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.
  • В самом общем виде — , введена Лейбницем в 1695 г.
График экспоненты

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной). При этом из-за того, что любое положительное основание может быть представлено в виде степени числа е, понятие «экспонента» часто употребляют вместо понятия «показательная функция».

Вещественная функцияПравить

Определение показательной функцииПравить

Пусть   — неотрицательное вещественное число,   — рациональное число:  . Тогда   определяется, исходя из свойств степени с рациональным показателем, по следующим правилам.

  • Если  , то  .
  • Если   и  , то  .
  • Если   и  , то  .
    • Значение   при   не определено.

Для произвольного вещественного показателя   значение   можно определить как предел последовательности

 

где   — последовательность рациональных чисел, сходящихся к  . То есть

 

СвойстваПравить

Свойства возведения в степень:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   /   =  

Промежутки монотонности:

 
Показательная функция с основаниями 2 и 1/2

При   показательная функция всюду возрастает, причём:

  •   (для всякого  )
  •  

При   функция, соответственно, убывает, причём:

  •   (для всякого  )
  •  

То есть показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной. Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Обратная функция:

По аналогии с введением функции корня для степенной введём логарифмическую функцию, обратную показательной:

  (логарифм   по основанию  )

Число е:

Отметим уникальное свойство показательной функции, найдём   (такое число  , производная показательной функции которого равна самой функции):

 

Возможность определения   легко увидеть после сокращения на  :

 

Выбирая  , окончательно получим число Эйлера:

 

Отметим, что функцию   можно иначе представить в виде ряда: (справедливость легко установить почленным дифференцированием):

 

Откуда имеем более точное приближение:

 

Единственность числа   легко показать, варьируя  . Действительно, если   пройдёт где-то выше, чем  , то на том же промежутке найдётся область, где  .

Дифференцирование:

Используя функцию натурального логарифма  , можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту. По свойству степени:  , откуда по свойству экспоненты и по правилу дифференцирования сложной функции:

 

Неопределённый интеграл:

 

Потенцирование и антилогарифмПравить

 
Изображение функции нахождения десятичного (10x) и натурального (ex) антилогарифмов в микрокалькуляторе «Электроника МК-51»

Потенцирование (от нем. potenzieren[К 1]) — нахождение числа по известному значению его логарифма[1], то есть решение уравнения  . Из определения логарифма вытекает, что  , таким образом, возведение   в степень   может быть названо другими словами «потенцированием   по основанию  », или вычислением показательной функции от  .

Антилогарифм[2] числа x — результат потенцирования, то есть число, логарифм которого (при заданном основании  ) равен числу  [2][3]:

 

Термин «антилогарифм» введен Валлисом в 1693 году[4]. Как самостоятельное понятие антилогарифм используется в логарифмических таблицах[5], логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Например, для извлечения кубического корня из числа   по логарифмическим таблицам следует найти логарифм числа   разделить его на 3 и затем (по таблице антилогарифмов) найти антилогарифм результата.

Аналогично логарифмам, антилогарифм по основанию   или 10 называется натуральным[6] или десятичным, соответственно.

Антилогарифм также называют обращённым логарифмом[3].

В инженерных калькуляторах потенцирование стандартно представлено в виде двух функций:   и  .

Комплексная функцияПравить

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

 

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для   вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

 

Отсюда вытекает, что комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси:

 

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример:  ; поскольку   (главное значение логарифма), окончательно получаем:  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Потенцирование / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 479.
  2. 1 2 Антилогарифм / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 73.
  3. 1 2 Антилогарифм / Виноградов, Математическая энциклопедия, том 1.
  4. Математика XVII столетия // История математики, в трёх томах / Под редакцией А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1970. — Т. II. — С. 56.
  5. Логарифмические таблицы / Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, стр. 330.
  6. Финансовые инструменты - Коллектив авторов - Google Книги. Дата обращения: 8 июля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.

КомментарииПравить

  1. Термин впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659 год).

ЛитератураПравить