Открыть главное меню

Степенна́я фу́нкция — функция , где (показатель степени) — некоторое вещественное число[1]. К степенным часто относят и функцию вида , где k — некоторый (ненулевой) коэффициент[2]. Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Содержание

Вещественная функцияПравить

Область определенияПравить

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при  . Если  , то функция определена также и при  , иначе ноль является её особой точкой.

Рациональный показатель степениПравить

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением:   (полукубическая парабола).

СвойстваПравить

См. также: Возведение в степень
  • Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема во всех точках, в окрестности которых она определена. Ноль, вообще говоря, является особой точкой; например, функция   определена в нуле и его правой окрестности, но её производная   в нуле не определена.
  • В интервале   функция монотонно возрастает при   и монотонно убывает при   Значения функции в этом интервале положительны.
  • Производная функции:  
  • Неопределённый интеграл:
    • Если  , то  
    • При   получаем:  

Комплексная функцияПравить

Степенная функция комплексного переменного z в общем виде определяется формулой[3]:

 

Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение   равно   где k — произвольное целое, а его главное значение есть  

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

  1. При натуральном показателе степени функция   однозначна и n-листна[4].
  2. Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь  , то у функции будет q различных значений[3].

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

ПримечанияПравить

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций..
  2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
  3. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527..
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.