Парабола

Пара́бола (греч. παραβολή — приближение) — плоская кривая, один из типов конических сечений.

Парабола
Парабола как коническое сечение
Парабола, её фокус и директриса
Эксцентриситет	$e=1$
Уравнения
${\begin{aligned}&y=x^{2}\\&y=ax^{2}+bx+c\\&Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey=F\\&\quad (B^{2}-4AC=0)\end{aligned}}$
Другие конические сечения
Гипербола Парабола Эллипс Окружность

Определение

Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок).

Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в прямую.

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Парабола в семействе конических сечений

Вершина

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

$\textstyle y^{2}=2px,p>0$ (или $\textstyle x^{2}=2py$, если поменять местами оси координат).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии ${\frac {p}{2}}$ от обоих.

Вывод

Уравнение директрисы PQ: $\textstyle x+{\frac {p}{2}}=0$, фокус F имеет координаты $\left({\frac {p}{2}};0\right).$ Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку ${\textrm {KM=KD+DM}}={\frac {p}{2}}+x$ и ${\textrm {FM}}={\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}$, то равенство приобретает вид: ${\sqrt {\left(x-{\frac {p}{2}}\right)^{2}+y^{2}}}={\frac {p}{2}}+x.$ После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение $y^{2}=2px.$

Парабола, заданная квадратичной функцией

Визуализация квадратичной параболы

Квадратичная функция $y=ax^{2}+bx+c$ при $a\neq 0$ также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и $y=ax^{2},$ но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

$x_{\textrm {A}}=-{\dfrac {b}{2a}},\;y_{\textrm {A}}=-{\dfrac {\mathcal {D}}{4a}},$ где ${\mathcal {D}}=b^{2}-4ac$ — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение $y=ax^{2}+bx+c$ может быть представлено в виде $y=a(x-x_{\textrm {A}})^{2}+y_{\textrm {A}},$ а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом $p={\frac {1}{|2a|}}.$

Общее уравнение параболы

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.$

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант $B^{2}-4AC$ равен нулю.

Уравнение в полярной системе

Парабола в полярной системе координат $(\rho ,\vartheta )$ с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

$\rho (1-\cos \vartheta )=p,$

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Уравнение в подерной системе

Парабола в подерной системе координат $(r,p)$ с центром в фокусе и параметром $a$, равным расстоянию от фокуса до вершины параболы, может быть представлена следующим уравнением:

$p^{2}=ar.$

Расчёт коэффициентов квадратичной функции

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, $y=ax^{2}+bx+c$ известны координаты трёх различных точек параболы $(x_{1};y_{1}),\;(x_{2};y_{2}),\;(x_{3};y_{3}),$ то его коэффициенты могут быть найдены так:

$a={\frac {y_{3}-{\tfrac {x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}},\ \ b={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-a(x_{1}+x_{2}),\ \ c={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}+ax_{1}x_{2}.$

Если же заданы вершина $(x_{0};y_{0})$ и старший коэффициент $a$, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

$b=-2ax_{0}$

$c=ax_{0}^{2}+y_{0}$

$x_{1}=x_{0}+{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}$

$x_{2}=x_{0}-{\sqrt {-{\frac {y_{0}}{a}}}}$

Свойства

Отражательное свойство параболы (оптика)

Расстояние от P_n до фокуса F такое же, как и от P_n до Q_n (на директрисе L)

Длина линий FP_nQ_n одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)

• Парабола — кривая второго порядка.
• Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
• Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
• Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
• Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
• Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
• Парабола является антиподерой прямой.
• Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия.
• Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе

Связанные определения

• При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.

Подера параболы

Обзорная статья: Подера

Любая парабола имеет подеру — циркулярную кривую 3-го порядка на комплексной проективной плоскости.

• Подеры параболы
• 
  Прямая — полюс подеры в фокусе параболы
• 
  Циссоида Диокла — полюс подеры на вершине параболы
• 
  Строфоида ${\scriptstyle (y+1)(x^{2}+y(y+1))+x^{2}=0}$ — полюс подеры в центре директрисы параболы ${\scriptstyle x^{2}=4y}$
• 
  Офиурида ${\scriptstyle (y+1)(x(x-2)+y(y+1))+(x-2)^{2}=0}$ — полюс подеры не в центре директрисы параболы ${\scriptstyle x^{2}=4y}$
• 
  Прямая конхоида Слюза ${\scriptstyle (y-4)(x^{2}+y(y-4))+x^{2}=0}$ — полюс подеры внутри на оси не в фокусе параболы ${\scriptstyle x^{2}=4y}$
• 
  Конхоида Слюза ${\scriptstyle (y-4)(x(x-2)+y(y-4))+(x-2)^{2}=0}$ — полюс подеры внутри не на оси параболы ${\scriptstyle x^{2}=4y}$

Не умаляя общности, уравнение произвольной параболы можно записать в следующем виде:

$y^{2}=4px,$ или $x^{2}=4py,$

где $p$ — расстояние от фокуса параболы до её вершины и от вершины до директрисы.

Тогда подера произвольной параболы $y^{2}=4px$ относительно произвольного полюса $(a,\;b)$ есть дефективная гипербола с двойной точкой $(a,\;b)$, асимптотой $a-p$ и следующим уравнением:

$(x-a)(y(y-b)+x(x-a))+p(y-b)^{2}=0.$

Другими словами, имеет место следующее утверждение:

подера параболы — это рациональная циркулярная кривая 3-го порядка.

Доказательство

Найдём вещественное неявное уравнение $f(x,\;y)$ подеры параболы $y^{2}=4px$ относительно полюса $(a,\;b)$. Текущая точка кривой — $(x_{0},\;y_{0})$.

Уравнение касательной к параболе $x={\frac {y^{2}}{4p}}$ запишем в виде

$x-x_{0}=x'_{0}(y-y_{0}),$

$x={\frac {y_{0}^{2}}{4p}}+{\frac {y_{0}}{2p}}(y-y_{0}),$

$x=my-m^{2}p,\quad$ $m={\frac {y_{0}}{2p}},$

а уравнение нормали, проходящей через полюс $(a,\;b)$, —

$x-a=-{\frac {1}{m}}(y-b).$

Уберём $m$, получим искомое уравнение:

$m=-{\frac {y-b}{x-a}},$

$x(x-a)^{2}=-y(y-b)(x-a)-p(y-b)^{2}.$

Имеют место три разных случая, в которых дефективная гипербола выступает тремя разными частными случаями:

• полюс подеры находится на параболе. Тогда полюс — точка возврата подеры;

• если полюс лежит на касательной к вершине параболы, то подера — офиурида;

• если полюс совпадает с вершиной параболы, то подера — циссоида;

• полюс подеры находится во внешности параболы. Тогда полюс — узловая точка подеры;

• в частности, если полюс находится на директрисе параболы, то подера — строфоида;

• полюс подеры находится внутри параболы. Тогда полюс — мнимая изолированная точка подеры;

• если полюс лежит на оси симметрии параболы, но не совпадает с фокусом параболы, то подера — конхоида Слюза;
• если полюс совпадает с фокусом параболы, то подера состоит из трёх прямых на комплексной проективной плоскости:

• действительной прямой, которая касается параболы в её вершине;
• две мнимые прямые, которые пересекаются в фокусе параболы.

Вариации и обобщения

Графики степенной функции $y=x^{n}$ при натуральном показателе $n>1$ называются параболами порядка $n$. Ранее рассмотренное определение соответствует $n=2,$ то есть параболе 2-го порядка.

Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при $\textstyle n=-{\frac {1}{2}}$;

Параболы в физическом пространстве

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

• 
  Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
• 
  Падение баскетбольного мяча
• 
  Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
• 
  Параболические траектории струй воды
• 
  Вращающийся сосуд с жидкостью
• 
  Парабола — антиподера прямой

Литература

• Акопян А. А., Заславский А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
• Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9—16.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
• Парабола // Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 191—192. — 1216 с.
• Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
• Lawrence J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.

Ссылки

• Статья в справочнике «Прикладная математика».
• Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
• Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
• Учебный фильм о параболе