Парабола
Пара́бола (греч. παραβολή — приближение[1]) — плоская кривая, один из типов конических сечений.
Парабола | |
---|---|
| |
![]() Парабола, её фокус и директриса | |
Эксцентриситет | |
Уравнения | |
Другие конические сечения | |
|
Определение Править
Античные математики определяли параболу как результат пересечения кругового конуса с плоскостью, которая не проходит через вершину конуса и параллельна его образующей (см. рисунок). В аналитической геометрии удобнее эквивалентное определение: парабола есть геометрическое место точек на плоскости, для которых расстояние до заданной точки (фокуса) равно расстоянию до заданной прямой (директрисы) (см. рисунок)[2].
Если фокус лежит на директрисе, то парабола вырождается в ломаную.
Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.
Вершина Править
Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.
Уравнения Править
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
- (или , если поменять местами оси координат).
Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[3]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.
Вывод |
---|
Уравнение директрисы PQ: , фокус F имеет координаты Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF. По определению параболы, для любой точки M, лежащей на ней, выполняется равенство KM = FM. Далее, поскольку и , то равенство приобретает вид: После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение |
Парабола, заданная квадратичной функцией Править
Квадратичная функция при также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:
- где — дискриминант квадратного трёхчлена.
Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение может быть представлено в виде а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом
Общее уравнение параболы Править
В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:
Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант равен нулю.
Уравнение в полярной системе Править
Парабола в полярной системе координат с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением
где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)
Расчёт коэффициентов квадратичной функции Править
Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, известны координаты трёх различных точек параболы то его коэффициенты могут быть найдены так:
Если же заданы вершина и старший коэффициент , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:
Свойства Править
- Парабола — кривая второго порядка.
- Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
- Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей. Сигнал также придет в одной фазе, что важно для антенн.
- Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
- Множество всех точек, из которых парабола видна под прямым углом, есть директриса.
- Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
- Парабола является антиподерой прямой.
- Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
- Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия[4].
- Описанная окружность треугольника, описанного около параболы, проходит через её фокус, а точка пересечения высот лежит на её директрисе
Связанные определения Править
- При вращении параболы вокруг оси симметрии получается эллиптический параболоид.
Вариации и обобщения Править
Графики степенной функции при натуральном показателе называются параболами порядка [5][6]. Ранее рассмотренное определение соответствует то есть параболе 2-го порядка.
Парабола также представляет собой синусоидальную спираль при ;
Параболы в физическом пространстве Править
Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).
Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.
При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.
Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассегрена, Шмидта — Кассегрена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.
При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.
Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.
Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.
-
Параболическая орбита и движение спутника по ней (анимация)
-
Падение баскетбольного мяча
-
Параболическая солнечная электростанция в Калифорнии, США
-
Параболические траектории струй воды
-
Вращающийся сосуд с жидкостью
-
Парабола — антиподера прямой
Примечания Править
- ↑ Парабола . Словарь иностранных слов. Дата обращения: 19 июня 2021. Архивировано 14 января 2020 года.
- ↑ Математическая энциклопедия, 1984.
- ↑ Александров П. С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.
- ↑ Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
- ↑ Битюцков В. И. Степенная функция // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 208—209. — 1248 с.
- ↑ Степенная функция // Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 564—565. — 847 с.
Литература Править
- Акопян А. А., Заславский А. В. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
- Бронштейн И. Парабола // Квант. — 1975. — № 4. — С. 9—16.
- Маркушевич А. И. Замечательные кривые. — Гостехиздат, 1952. — 32 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 4).
- Парабола // Математическая энциклопедия (в 5-и томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 191—192. — 1216 с.
Ссылки Править
- Статья в справочнике «Прикладная математика».
- Анимированные рисунки, иллюстрирующие некоторые свойства параболы.
- Информация (англ.) о связи параболы с физикой.
- Учебный фильм о параболе