Открыть главное меню

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Парабола
Parabola3.svg
Парабола, её фокус и директриса
Conicas2.PNG
Парабола как коническое сечение
Эксцентриситет
Уравнения
Другие конические сечения

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Изображение конического сечения, являющегося параболой
Построение параболы как конического сечения
Конические сечения

Содержание

ВершинаПравить

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

УравненияПравить

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

  (или  , если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии   от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функциейПравить

Квадратичная функция   при   также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и   но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

  где   — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение   может быть представлено в виде   а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом  

Общее уравнение параболыПравить

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

 

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант   равен нулю.

Уравнение в полярной системеПравить

Парабола в полярной системе координат   с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

 

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функцииПравить

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат,   известны координаты трёх различных точек параболы   то его коэффициенты могут быть найдены так:

 

Если же заданы вершина   и старший коэффициент  , то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

 
 
 
 

СвойстваПравить

 
Отражательное свойство параболы (оптика)
 
Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)
 
Длина линий FPnQn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)
  • Парабола — кривая второго порядка.
  • Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
  • Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
  • Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
  • Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
  • Парабола является антиподерой прямой.
  • Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.
  • Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть Цепная линия [2].

Связанные определенияПравить

ОбобщениеПравить

Парабола есть Синусоидальная спираль при  ;

Параболы в физическом пространствеПравить

 
Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости, имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела, вследствие своей большой скорости, не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности, аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио- …), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.
  2. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство)/ Под ред. А.П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить