Цепна́я ли́ния, также катенария[1], — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Висящая цепь образует цепную линию
Цепная линия при различных значениях параметра

Уравнение линии в декартовых координатах:

(о функции см. гиперболический косинус).

Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси . Переменная графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии. Значение этой ординаты равно значению . Если значение параметра меньше нуля, то мы имеем не провисающую цепь, а арку.

Параметр имеет физический смысл. Это отношение горизонтальной проекции силы, растягивающей цепь, к удельному (линейному) весу цепи.

Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Свойства

править
 
Натяжение цепной линии. Каждая кривая соответствует разному значению горизонтальной составляющей силы натяжения   Параметр   где   — погонная плотность нити
 
Цепная линия - траектория фокуса параболы, катящейся по прямой.
  • Мыльная плёнка, натянутая на два параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
  • Длина дуги от вершины до произвольной точки  :
     
  • Радиус кривизны:
     
  • Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:
     
  • Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия[2][3].
  • Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии[4].

Применения

править

Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба.

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма изгиба тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии[5]. Это связано с тем, что основной вес моста распределён в полотне моста, а не в поддерживающих тросах.

 
Трёхколёсный велосипед с квадратными колёсами едет по поверхности с профилем цепной линии

Квадратные колёса

править

Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на квадратных колёсах[англ.], ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги[6][7].

 

История

править

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли[8].

Дополнительные факты

править

На арке «Ворота на запад» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах[9]:

 

Выраженное в метрах, это уравнение будет  

См. также

править

Примечания

править
  1. Цепная линия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  2. Савёлов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство) / Под ред. А. П. Нордена. М.: Физматлит, 1960. С. 250.
  3. Anurag Agarwal and James Marengo The Locus of the Focus of a Rolling Parabola. Дата обращения: 11 июня 2022. Архивировано 9 июля 2020 года.
  4. The Calculus of Variations (2015). Дата обращения: 3 мая 2019. Архивировано 11 июля 2019 года.
  5. Paul Kunkel. Hanging With Galileo (англ.) (HTML). Whistler Alley Mathematics — whistleralley.com. Дата обращения: 24 июля 2012. Архивировано 6 августа 2012 года.
  6. Цепная линия. Математические этюды. Дата обращения: 7 апреля 2020. Архивировано 6 мая 2020 года.
  7. A Catenary Road and Square Wheels. New Trier High School, Winnetka, Illinois. Дата обращения: 7 апреля 2020. Архивировано 30 сентября 2006 года.
  8. Меркин, 1980, с. 47.
  9. Barrow J. D. Cosmic imagery: key images in the history of science. — 1952. — ISBN 9781448113675. — ISBN 1448113679.

Литература

править