Открыть главное меню
Геометрический смысл формулы Эйлера

Формула Эйлера связывает комплексную экспоненту с тригонометрическими функциями. Названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа выполнено следующее равенство:

,

где одна из важнейших математических констант, определяющаяся следующей формулой: ,

 — мнимая единица.

ИсторияПравить

Формула Эйлера впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (лат. Logometria), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году[1] и перепечатана в книге «Гармония мер» (лат. Harmonia mensurarum), которая была издана в 1722 году, уже после смерти автора[2]. Котс привёл её как небольшое предложение среди множества геометрических построений, которое после перевода на современный математический язык и исправления ошибки в знаке, имеет вид[3]:

 .

Эйлер опубликовал формулу в её привычном виде в статье 1740 года и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (лат. Introductio in analysin infinitorum) (1748)[4], построив доказательство на равенстве бесконечных разложений в степенные ряды правой и левой частей. Ни Эйлер, ни Котс не представляли себе геометрической интерпретации формулы: представление о комплексных числах как точках на комплексной плоскости появилось примерно 50 лет спустя у К. Весселя.

Производные формулыПравить

При помощи формулы Эйлера можно определить функции   и   следующим образом:

 ,
 .

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть  , тогда:

 ,
 .

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

 

является частным случаем формулы Эйлера при  .

Применение в теории чиселПравить

В аналитической теории чисел часто рассматриваются специальные суммы вида  , где   — некоторое множество рассматриваемых объектов, а   — функция, отражающая изучаемые свойства объектов.

Для теории чисел, изучающей целые числа, имеют значение прежде всего выводимые из формулы Эйлера индикаторные тождества, касающиеся произвольного целого числа  .

 
 

Применение в комплексном анализеПравить

Благодаря формуле Эйлера появилась так называемая тригонометрическая и показательная запись комплексного числа:  .

Также значительным следствием можно считать формулы возведения комплексного числа в произвольную степень:  ,  . Геометрический смысл данной формулы следующий: при возведении числа   в степень   его расстояние до центра возводится в степень  , а угол поворота относительно оси   увеличивается в   раз.

Формула возведения в степень верна не только для целых  , но и для вещественных. В частности, показательная запись числа позволяет находить корни любой степени из любого комплексного числа.

Взаимосвязь с тригонометриейПравить

Формула Эйлера предоставляет связь между математическим анализом и тригонометрией, а также позволяет интерпретировать функции синуса и косинуса как взвешенные суммы экспоненциальной функции:

 
 

Вышеуказанные уравнения могут быть получены путём сложения или вычитания формул Эйлера:

 
 

с последующим решением относительно синуса или косинуса.

Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:

 
 

Комплексные экспоненты позволяют упростить тригонометрические расчеты, поскольку ими проще манипулировать, нежели синусоидальными компонентами. Один из подходов предусматривает преобразование синусоид в соответствующие экспоненциальные выражения. После упрощения результат выражения остается вещественным. Например:

 

Суть другого подхода в представлении синусоид в качестве вещественных частей комплексного выражения и проведения манипуляций непосредственно с комплексным выражением. Например:

 

Данная формула используется для рекурсивного вычисления значений cos(nx) для целых значений n и произвольных значений x (в радианах).

ДоказательствоПравить

Доказательство формулы Эйлера можно провести с использованием ряда Маклорена. Разложим функцию   в ряд Тейлора в окрестности точки a = 0 (в ряд Маклорена) по степеням  . Получим:

 

Но

 

 

Поэтому  , что и требовалось доказать.

Наглядная демонстрацияПравить

Известно, что  . Нижеследующие изображения иллюстрируют, что предел   стремится к точке, находящейся на единичной окружности, и длина дуги от этой точки до точки 1 равняется  . Это, в частности, связано с тем, что  .

Процесс изменения   при изменении   можно также наглядно продемонстрировать через производную. Общеизвестно, что   и  . Этот же факт остаётся верным и для комплексного значения функции. Рассматривая функцию  , получим  . Поскольку в геометрическом представлении комплексных чисел умножение на   аналогично повороту на 90 градусов, то графическое изображение функции   и её производной будет аналогично чертежу действия центростремительной силы, для которого известен физический смысл.

Показательная форма комплексного числаПравить

Показательная и тригонометрические формы комплексных чисел связаны между собой формулой Эйлера.

Пусть комплексное число   в тригонометрической форме имеет вид   . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим:

 

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь   ,  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Cotes R. Logometria (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. — 1714-1716. — Vol. 29. — P. 32. — DOI:10.1098/rstl.1714.0002.
  2. Cotes R. Harmonia mensurarum. — 1722. — P. 28.
  3. González-Velasco Enrique A. Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History. — 2011. — P. 182.
  4. Euler L. Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum. — 1748. — Vol. 1. — P. 104.

ЛитератураПравить