Открыть главное меню

ОпределениеПравить

1. Многочленом Тейлора функции   вещественной переменной  , дифференцируемой   раз в точке  , называется конечная сумма

 ,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при   верно  .

При записи суммы использованы обозначение   и соглашение о произведении по пустому множеству:  ,  .

2. Рядом Тейлора в точке   функции   вещественной переменной  , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки  , называется формальный степенной ряд

  с общим членом  , зависящим от параметра  .

Другими словами, рядом Тейлора функции   в точке   называется ряд по положительным степеням двучлена  :

 .[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции   в окрестности точки   не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки  .

3. Рядом Тейлора в точке   функции   комплексной переменной  , удовлетворяющей в некоторой окрестности   точки   условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

 .

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса  , что в   ряд сходится к функции  .

4. В случае   ряд

 

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функцияПравить

1. Функция   вещественной переменной   называется аналитической в точке  , если существуют такой радиус   и такие коэффициенты  ,  , что   представима в виде сходящегося на интервале   степенного ряда:  , то есть      .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд   на любом компактном подмножестве   области сходимости   допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в  -ю производную функции   подставить  , то получится  .

Таким образом, для аналитической в точке   функции   для некоторого   всюду в   является верным представление  .

Следствие. Функция   вещественной переменной   является аналитической в точке   тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром   на некотором открытом интервале, содержащем точку  .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке   функции   вещественного переменного   её ряд Тейлора   сходиться к   всюду на каком-нибудь интервале  , то есть представима ли   этим рядом ?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности  .

Примеры. Функции вещественной переменной  ,  ,   являются бесконечно дифференцируемыми в точке  , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром   тождественно равны нулю. Однако, для любого   в окрестности   точки   найдутся точки, в которых функции, отличны от  . Таким образом, эти функции не являются в точке   аналитическими.

Область сходимости ряда ТейлораПравить

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке  ) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке  ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция   может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом:   (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция   определена для всех действительных чисел, кроме точки  , то ряд   сходится только при условии  .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

 .

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию  . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен  . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси   для любого параметра  .


4. От параметра — точки разложения   ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного  ) в ряд Тейлора функцию  :  .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента  , при любых значениях   (кроме  ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

 .

Область сходимости ряда может быть задана неравенством  . И теперь эта область зависит от  . Например, для   ряд сходится при  . Для   ряд сходится при  .

Формула ТейлораПравить

Предположим, что функция   имеет все производные до  -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку  . Найдем многочлен   степени не выше  , значение которого в точке   равняется значению функции   в этой точке, а значения его производных до  -го порядка включительно в точке   равняются значениям соответствующих производных от функции   в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид  , то есть это  -я частичная сумма ряда Тейлора функции  . Разница между функцией   и многочленом   называется остаточным членом и обозначается  . Формула   называется формулой Тейлора[4]. Остаточный член дифференцируем   раз в рассматриваемой окрестности точки  . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция   имеет   производную на отрезке с концами   и  , то для произвольного положительного числа   найдётся точка  , лежащая между   и  , такая, что

 

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного членаПравить

В форме Лагранжа:

 

В форме Коши:

 

В интегральной форме:

 

Ослабим предположения:

  • Пусть функция   имеет   производную в некоторой окрестности точки   и  -ю производную в самой точке  , тогда:
В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):
 

Критерий аналитичности функцииПравить

Предположим, что некоторую функцию   нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке  . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке  , и её ряд Тейлора с параметром   может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка  , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции   только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку  . Пусть ряд Тейлора с параметром   такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех   из окрестности   по формуле Тейлора можно записать  , где   — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция   является аналитической в точке   тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки   существует непрерывная область   такая, что для всех   остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом  :  .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию  . Её ряд Тейлора сходится на всей оси   для любых параметров  . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках  .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид  , где   — некоторое число, заключенное между   и   (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

 

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом  

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых   и  .

Ряды Маклорена некоторых функцийПравить

  • Экспонента:  
  • Натуральный логарифмряд Меркатора»):   для всех  
  • Биномиальное разложение:   для всех   и всех комплексных   где  
    • Квадратный корень:   для всех  
    •   для всех  
    • Конечный геометрический ряд:   для всех  
  • Тригонометрические функции:
    • Синус:  
    • Косинус:  
    • Тангенс:   для всех   где   — числа Бернулли
    • Секанс:   для всех   где   — числа Эйлера
    • Арксинус:   для всех  [6]
    • Арккосинус:   для всех  
    • Арктангенс:   для всех  
  • Гиперболические функции:
    •  
    •  
    •   для всех  
    •   для всех  
    •   для всех  

Формула Тейлора для функции двух переменныхПравить

Пусть функция   имеет непрерывные производные до  -го порядка включительно в некоторой окрестности точки  . Введём дифференциальный оператор

 .

Тогда разложение (формула Тейлора) функции   по степеням   для   в окрестности точки   будет иметь вид

 

где   — остаточный член в форме Лагранжа:

 

Следует иметь в виду, что операторы   и   в   действуют только на функцию  , но не на   и/или  .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе  .

В случае функции одной переменной  .

Формула Тейлора многих переменныхПравить

Для получения формулы Тейлора функции   переменных  , которая в некоторой окрестности точки   имеет непрерывные производные до  -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

 

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням   в окрестности точки   имеет вид

 

где   — остаточный член порядка  .

Для функции   переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки  , ряд Тейлора имеет вид

 ,

где

 

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменныхПравить

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных  ,   и   в окрестности точки   до второго порядка малости. Оператор   будет иметь вид

 

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

 
 

Учитывая, что

 

получим

 
 

Например, при  ,

 

ПримечанияПравить

  1. Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
  2. Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
  3. Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
  4. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.
  5. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА "НАУКА", 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.
  6. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула даёт большую погрешность. Поэтому можно воспользоваться формулой   где  

ЛитератураПравить