Ряд Тейлора

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций. Частный случай разложения в ряд Тейлора в нулевой точке называется рядом Маклорена.

Ряд Тейлора был известен задолго до публикаций Брука Тейлора[1] — его использовали ещё в XIV веке в Индии[2], а также в XVII веке Грегори и Ньютон.

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Обобщением понятия ряда Тейлора в функциональном анализе является ряд Фантапье.

Определение править

1. Многочленом Тейлора функции   вещественной переменной  , дифференцируемой   раз в точке  , называется конечная сумма

 ,

используемая в приближённых вычислениях, как обобщение следствия теоремы Лагранжа о среднем значении дифференцируемой функции:

при   верно  .

При записи суммы использованы обозначение   и соглашение о произведении по пустому множеству:  ,  .

2. Рядом Тейлора в точке   функции   вещественной переменной  , бесконечно дифференцируемой в окрестности точки  , называется формальный степенной ряд

  с общим членом  , зависящим от параметра  .

Другими словами, рядом Тейлора функции   в точке   называется ряд разложения функции по положительным степеням двучлена  :

 .[3]

Как указано ниже в примерах, наличия бесконечной дифференцируемости функции   в окрестности точки   не достаточно, чтобы ряд Тейлора сходился к самой функции где-либо, кроме самой точки  .

3. Рядом Тейлора в точке   функции   комплексной переменной  , удовлетворяющей в некоторой окрестности   точки   условиям Коши — Римана, называется степенной ряд

 .

В отличие от вещественного случая, из условий следует, что найдётся такое значение радиуса  , что в   ряд сходится к функции  .

4. В случае   ряд

 

называется рядом Маклорена.

Аналитическая функция править

1. Функция   вещественной переменной   называется аналитической в точке  , если существуют такой радиус   и такие коэффициенты  ,  , что   может быть представлена в виде сходящегося на интервале   степенного ряда:  , то есть      .

Функция называется аналитической на промежутке (на множестве), если она является аналитической в каждой точке этого промежутка (множества).

2. Степенной ряд   на любом компактном подмножестве   области сходимости   допускает почленное дифференцирование любое количество раз.

Если в  -ю производную функции   подставить  , то получится  .

Таким образом, для аналитической в точке   функции   для некоторого   всюду в   является верным представление  .

Следствие. Функция   вещественной переменной   является аналитической в точке   тогда и только тогда, когда она равна своему ряду Тейлора с параметром   на некотором открытом интервале, содержащем точку  .

3. Вопрос: будет ли для произвольной бесконечно дифференцируемой в точке   функции   вещественного переменного   её ряд Тейлора   сходиться к   всюду на каком-нибудь интервале  , то есть представима ли   этим рядом?

Ответ: нет. Существуют бесконечно дифференцируемые функции вещественной переменной, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности  .

Примеры. Функции вещественной переменной  ,  ,   являются бесконечно дифференцируемыми в точке  , причём все эти производные равны нулю.

Следовательно, ряды Тейлора всех этих функций с параметром   тождественно равны нулю. Однако, для любого   в окрестности   точки   найдутся точки, в которых функции отличны от  . Таким образом, эти функции не являются в точке   аналитическими.

Примером гладкой функции, не являющейся аналитической ни в одной точке своей области определения, служит функция Фабиуса.

Область сходимости ряда Тейлора править

Ряд Тейлора, являясь степенным рядом, имеет в качестве области сходимости круг (с центром в точке  ) для случая комплексной переменной и интервал (с центром в точке  ) — для случая вещественной переменной.

1. Например, функция   может быть разложена в ряд Тейлора следующим образом:   (это известная формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии). Однако если функция   определена для всех действительных чисел, кроме точки  , то ряд   сходится только при условии  .

2. Радиус сходимости ряда Тейлора можно определить, например, по формуле Даламбера:

 .

3. Рассмотрим для примера экспоненциальную функцию  . Поскольку любая производная экспоненциальной функции равна самой функции в любой точке, то радиус сходимости экспоненциальной функции равен  . Значит, ряд Тейлора экспоненциальной функции сходится на всей оси   для любого параметра  .


4. От параметра — точки разложения   ряда Тейлора — зависит область его сходимости.

Например, разложим в общем случае (для произвольного  ) в ряд Тейлора функцию  :  .

Можно доказать с помощью формулы суммы геометрической прогрессии, что данный ряд, как функция аргумента  , при любых значениях   (кроме  ) имеет один и тот же вид.

Действительно,

 .

Область сходимости ряда может быть задана неравенством  . И теперь эта область зависит от  . Например, для   ряд сходится при  . Для   ряд сходится при  .

Формула Тейлора править

Предположим, что функция   имеет все производные до  -го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку  . Найдем многочлен   степени не выше  , значение которого в точке   равняется значению функции   в этой точке, а значения его производных до  -го порядка включительно в точке   равняются значениям соответствующих производных от функции   в этой точке.

Достаточно легко доказать, что такой многочлен имеет вид  , то есть это  -я частичная сумма ряда Тейлора функции  . Разница между функцией   и многочленом   называется остаточным членом и обозначается  . Формула   называется формулой Тейлора[4]. Остаточный член дифференцируем   раз в рассматриваемой окрестности точки  . Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

Если функция   имеет   производную на отрезке с концами   и  , то для произвольного положительного числа   найдётся точка  , лежащая между   и  , такая, что

 

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена править

В форме Лагранжа:

 

В форме Коши:

 

В интегральной форме:

 

Ослабим предположения:

  • Пусть функция   имеет   производную в некоторой окрестности точки   и  -ю производную в самой точке  , тогда:
В асимптотической форме (форме Пеано, локальной форме):
 

Критерий аналитичности функции править

Предположим, что некоторую функцию   нужно разложить в ряд Тейлора в некоторой точке  . Для этого предварительно нужно убедиться, что функция является аналитической (то есть буквально разложимой) в этой точке. В противном случае получится не разложение функции в ряд Тейлора, а просто ряд Тейлора, который не равен своей функции. Причем, как можно убедиться на примере функции Коши, и функция может быть сколько угодно раз дифференцируемой в точке  , и её ряд Тейлора с параметром   может быть сходящимся, но при этом ряд Тейлора может быть не равен своей функции.

Во-первых, необходимым условием аналитичности функции является сходимость ряда Тейлора в некоторой непрерывной области. Действительно, если ряд Тейлора сходится всего в одной точке, то это точка  , потому что в ней ряд Тейлора сходится всегда. Но тогда ряд Тейлора равен функции   только в этой единственной точке, а значит, данная функция не будет аналитической.

Во-вторых, по формуле Тейлора в ряд Тейлора с остаточным членом может быть разложена любая (а не только аналитическая) функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности, содержащей точку  . Пусть ряд Тейлора с параметром   такой функции сходится в этой окрестности. Если существует предел каждой из двух последовательностей, то предел суммы этих последовательностей равен сумме их пределов. Тогда для всех   из окрестности   по формуле Тейлора можно записать  , где   — ряд Тейлора.

Очевидно, что функция   является аналитической в точке   тогда и только тогда, если в указанной окрестности точки   существует непрерывная область   такая, что для всех   остаточный член её разложения по формуле Тейлора стремится к нулю с ростом  :  .

В качестве примера рассмотрим экспоненциальную функцию  . Её ряд Тейлора сходится на всей оси   для любых параметров  . Докажем теперь, что эта функция является аналитической во всех точках  .

Остаточный член разложения этой функции в форме Лагранжа имеет вид  , где   — некоторое число, заключенное между   и   (не произвольное, но и не известное). Тогда, очевидно,

 

Здесь используется, что на фиксированном промежутке экспонента ограничена некоторым числом  

Причем, как видно, предел остаточного члена равен нулю для любых   и  .

Ряды Маклорена некоторых функций править

  • Экспонента:  
  • Натуральный логарифмряд Меркатора»):   для всех  
  • Биномиальное разложение:   для всех   и всех комплексных   где   — обобщённые биномиальные коэффициенты.
    • Квадратный корень[6]:   для всех  
    • Обратный квадратный корень[6]:   для всех  
    • Геометрические ряды[en]*:
      •   для всех  
      •   для всех  
      •   для всех  
      • Конечный геометрический ряд:   для всех  
  • Тригонометрические функции[6][7]:
    • Синус:  
    • Косинус:  
    • Тангенс:   для всех   где   — числа Бернулли.
    • Котангенс:   для всех   где   — числа Бернулли.
    • Секанс:   для всех   где   — числа Эйлера.
    • Косеканс:   для всех   где   — числа Бернулли.
  • Обратные тригонометрические функции[6][8]:
    • Арксинус:   для всех  [9].
    • Арккосинус:   для всех  
    • Арктангенс:   для всех  
    • Арккотангенс:   для всех  
  • Гиперболические функции[6][10]:
    • Гиперболический синус:  
    • Гиперболический косинус:  
    • Гиперболический тангенс:   для всех  
    • Гиперболический котангенс:   для всех  
    • Гиперболический секанс:   для всех  
    • Гиперболический косеканс:   для всех  
  • Обратные гиперболические функции[6][11]:
    • Гиперболический арксинус:   для всех  
    • Гиперболический арктангенс:   для всех  
  • W-функция Ламберта:  

Формула Тейлора для функции двух переменных править

Пусть функция   имеет непрерывные производные до  -го порядка включительно в некоторой окрестности точки  . Введём дифференциальный оператор

 .

Тогда разложение (формула Тейлора) функции   по степеням   для   в окрестности точки   будет иметь вид

 

где   — остаточный член в форме Лагранжа:

 

Следует иметь в виду, что операторы   и   в   действуют только на функцию  , но не на   и/или  .

Аналогичным образом формула строится для функций любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе  .

В случае функции одной переменной  .

Формула Тейлора многих переменных править

Для получения формулы Тейлора функции   переменных  , которая в некоторой окрестности точки   имеет непрерывные производные до  -го порядка включительно, введём дифференциальный оператор

 

Тогда разложение (формула Тейлора) функции по степеням   в окрестности точки   имеет вид

 

где   — остаточный член порядка  .

Для функции   переменных, бесконечно дифференцируемой в некоторой окрестности точки  , ряд Тейлора имеет вид:

 .

В другой форме ряд Тейлора можно записать таким образом:

 .

Пример разложения в ряд Маклорена функции трёх переменных править

Найдём выражение для разложения в ряд Тейлора функции трёх переменных  ,   и   в окрестности точки   до второго порядка малости. Оператор   будет иметь вид

 

Разложение в ряд Тейлора запишется в виде

 
 

Учитывая, что

 

получим

 
 

Например, при  ,

 

Примечания править

  1. Taylor, Brook, Methodus Incrementorum Directa et Inversa [Direct and Reverse Methods of Incrementation] (London, 1715), pages 21-23 (Proposition VII, Theorem 3, Corollary 2). Translated into English in D. J. Struik, A Source Book in Mathematics 1200—1800 (Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1969), pages 329—332.
  2. Gupta R. C. The Madhava-Gregory series, Math. Education 7 (1973), B67-B70.
  3. Запорожец Г. И. «Руководство к решению задач по математическому анализу» — С. 371
  4. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. — Мифрил, 1996. — С. Том 1, глава 4, параграф 6.
  5. Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. — тринадцатое. — МОСКВА "НАУКА", 1985. — С. Том 2, глава 16, параграф 16.
  6. 1 2 3 4 5 6 Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений Архивная копия от 30 декабря 2021 на Wayback Machine. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
  7. Цукер Р. Тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 37—43. — 832 с. — 50 000 экз.
  8. Цукер Р. Обратные тригонометрические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 44—47. — 832 с. — 50 000 экз.
  9. При значении x, близком к 1, эта расчётная формула сходится медленно, т.е. даёт большую погрешность при приближении функции суммой первых нескольких членов ряда. Поэтому можно воспользоваться формулой   где  
  10. Цукер Р. Гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 48—49. — 832 с. — 50 000 экз.
  11. Цукер Р. Обратные гиперболические функции // Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — С. 50—53. — 832 с. — 50 000 экз.

Литература править