Условия Коши — Римана

Условия Коши — Римана, называемые также условиями Даламбера — Эйлера, — соотношения, связывающие вещественную и мнимую части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного .

Функция f является моногенной, только если df(zX) = z df(X), где z — любое комплексное число.

ФормулировкаПравить

В декартовых координатахПравить

Для того чтобы функция  , определённая в некоторой области   комплексной плоскости, была дифференцируема в точке   как функция комплексного переменного  , необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части   и   были дифференцируемы в точке   как функции вещественных переменных   и   и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши — Римана:

 
 

Компактная запись:

  или  

Если условия Коши — Римана выполнены, то производная   представима в любой из следующих форм:

 

ДоказательствоПравить

1. НеобходимостьПравить

По условию теоремы существует предел

 

не зависящий от способа стремления   к нулю.

  • Вещественное приращение. Положим   и рассмотрим выражение
 
Существование комплексного предела   равносильно существованию одного и того же предела в любом направлении, включая   Поэтому в точке z0 существует частная производная функции f(z) по x и имеет место формула
 
  • Чисто мнимое приращение. Полагая  , находим
 

Это означает, что если функция дифференцируема, то производные функции по x и по y точно одинаковы, то есть необходимость условий Коши — Римана доказана.

2. ДостаточностьПравить

Иными словами, нужно доказать в обратную сторону — что если производные функции по x и по y действительно одинаковы, то функция оказывается дифференцируемой вообще в любых направлениях.

Приращение функцииПравить

Следуя определению дифференцируемости, приращение функции   в окрестности точки   может быть записано в виде

 

где комплекснозначная функция   служит «придаточным» слагаемым и стремится к нулю при   быстрее, чем   и   то есть

 

Составим теперь разностное соотношение   и преобразуем его к виду

 

Условие дифференцируемостиПравить

Теперь, чтобы доказать достаточность условий Коши — Римана, подставим их в разностное соотношение и получим следующее:

 

Заметим, что при стремлении   к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первое остаётся неизменным. Поэтому предел   одинаков в любом направлении приращения   а не только вдоль вещественной и мнимой осей, а значит, этот предел существует, что и доказывает достаточность.

В полярных координатахПравить

В полярной системе координат   условия Коши — Римана выглядят так:

 

Компактная запись:

 

Связь модуля и аргумента дифференцируемой комплексной функцииПравить

Часто удобно записывать комплексную функцию в показательной форме:

 

Тогда условия Коши — Римана связывают модуль   и аргумент   функции следующим образом:

 

А если функция и её аргумент выражены в полярной системе одновременно:

 

то запись приобретает вид:

 

Геометрический смысл условий Коши — РиманаПравить

Пусть функция   где   дифференцируема. Рассмотрим в комплексной плоскости   два семейства кривых (линии уровня).

Первое семейство:  
Второе семейство:  

Тогда условия Коши — Римана означают, что кривые первого семейства ортогональны кривым второго семейства.

Алгебраический смысл условий Коши — РиманаПравить

Если рассматривать множество комплексных чисел   как векторное пространство над  , то значение производной функции   в точке является линейным отображением из 2-мерного векторного пространства   в себя ( -линейность). Если же рассматривать   как одномерное векторное пространство над  , то и производная в точке будет линейным отображением одномерного векторного пространства   в себя ( -линейность), которое в координатах представляет собой умножение на комплексное число  . Очевидно, всякое  -линейное отображение  -линейно. Так как поле (одномерное векторное пространство)   изоморфно полю вещественных матриц вида   с обычными матричными операциями, условия Коши — Римана, накладываемые на элементы матрицы Якоби отображения   в точке   (точнее, отображения   в точке  ), являются условиями  -линейности  , т.е.  .

ИсторияПравить

Эти условия впервые появились в работе д'Аламбера (1752). В работе Эйлера, доложенной Петербургской академии наук в 1777 году, условия получили впервые характер общего признака аналитичности функций.

Коши пользовался этими соотношениями для построения теории функций, начиная с мемуара, представленного Парижской академии наук в 1814 году. Знаменитая диссертация Римана об основах теории функций относится к 1851 году.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Евграфов М. А. Аналитические функции. — 2-е изд., перераб. и дополн. — М.: Наука, 1968. — 472 с.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. — М.Л.: Государственное издательство, 1927. — 316 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.
  • Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. — 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1980. — 464 с.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
  • Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971. — 392 с.