Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная[1] плоскость — это геометрическое представление множества комплексных чисел .

Геометрическое представление комплексного числа

Точка двумерной вещественной плоскости , имеющая координаты , изображает комплексное число , где:

 — вещественная часть комплексного числа,
 — его мнимая часть.

Другими словами, комплексному числу соответствует радиус-вектор с координатами Алгебраическим операциям над комплексными числами соответствуют операции над соответствующими им точками или векторами. Тем самым различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

  • сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
  • умножению на комплексное число соответствует поворот радиус-вектора на угол и растяжение радиус-вектора в раз;
  • корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя. Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскостиПравить

Открытые множестваПравить

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью   точки   называется множество вида  . Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности  .

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую её окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на   полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множествоПравить

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка   будет предельной для множества  , если для произвольной окрестности   пересечение   будет не пусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается  .

Множество   будет называться замкнутым, если для него справедливо включение  . Ясно видно, что для произвольного множества   множество   будет замкнуто; оно называется замыканием множества  .

ГраницаПравить

Точка   будет называться граничной для множества  , если для произвольной окрестности   пересечения   и   будут не пусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством   или просто границей.

Всюду плотные множестваПравить

Множество   будет называться всюду плотным в ином множестве  , если для произвольной точки   и любой окрестности   пересечение   не пусто.

СвязностьПравить

Расстояние между множествамиПравить

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой   и некоторым множеством   как величину  .

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в  :  .

СвязностьПравить

Множество   называется связным, если для него выполнено соотношение  . Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество   можно представить в виде объединения (конечного или счетного)  , где   — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества  . Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звёздные и линейно связные множестваПравить

Множество   называется звёздным относительно точки  , если для произвольной точки   выполняется включение  .

Множество   называется выпуклым, если оно звёздно относительно любой своей точки. Множество   называется выпуклой оболочкой множества  , если оно выпукло,   и для любого выпуклого множества  , содержащего множество   выполняется включение  .

Ломаной   называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество   называется линейно связным, если для двух произвольных точек   существует ломаная   такая, что выполняется  .

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звёздные множества.

Кривые на Править

Кривые и путиПравить

Кривой или путём на комплексной плоскости   называется отображение вида  . Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции  , но и её направление. Для примера, функции   и   будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривыхПравить

Кривые   и   называются гомотопными, если существует кривая  , зависящая от параметра   таким образом, что   и  .

Аналитическая геометрия на комплексной плоскостиПравить

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например[2]:

  • Три (различные) точки   лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:
  является вещественным числом.
  • Четыре (различные) точки   лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:
отношение   является вещественным числом.
  • Если даны три вершины параллелограмма:   то четвёртая определяется равенством[3]:  

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид[4]:

  где   — комплексные числа,   — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми   и   равен   В частности, прямые перпендикулярны, когда   — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда   есть вещественное число; если при этом   также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая   рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение   положительно, на другой — отрицательно[4].

Уравнение окружности с центром   и радиусом   имеет чрезвычайно простой вид:   Неравенство   описывает внутренность окружности[4]. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности[5]:  

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точкаПравить

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость[6], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой  :

 

Геометрически точка   изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место[6]:

  •  
  •  

 -окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек  , модуль которых больше, чем  , то есть внешняя часть  -окрестностей начала координат.

Расширенная комплексная плоскость называется также сферой Римана, так как она изоморфна обычной сфере   (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.[уточнить]

ПримечанияПравить

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
  2. Привалов И. И., 1984, с. 43.
  3. Соломенцев Е. Д., 1988, с. 10.
  4. 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979, с. 17—18.
  5. Соломенцев Е. Д., 1988, с. 12.
  6. 1 2 Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 20—21.

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
  • Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
  • Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменногои их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: учебник для студентов механико-математических специальностей университетов, СПб.: 2004.
  • Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.