Открыть главное меню

Аффинное преобразование

красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании , если новые координаты отобразить в прежнем базисе

Аффи́нное преобразование, иногда Афинное преобразование[1] (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся[2].

Содержание

ОпределениеПравить

Аффинное преобразование   есть преобразование вида

 

где   — обратимая матрица (неособенный аффинор) и  .

КомментарийПравить

Иначе говоря, преобразование называется аффинным, если его можно получить следующим образом:

  1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат  ;
  2. Каждой точке   пространства поставить в соответствие точку  , имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и   в «старой».

ПримерыПравить

Примерами аффинных преобразований являются

СвойстваПравить

  • При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
  • Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразованийПравить

  • Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также, сохраняется аффинная длина).
  • Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее начало координат.

Матричное представлениеПравить

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование   можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

 

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL[3]; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована[4].

Вариации и обобщенияПравить

  • В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел  .
  • Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
  • Аффинные преобразования пространства   являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства   можно представить как аффинные преобразования пространства  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей в тензорном изложении. — Рипол-классик, 2013. — 518 с. — ISBN 9785458491099.
  2. Аффинное Преобразование
  3. OpenGL Transformation (англ.). Проверено 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года.
  4. Transforms (Direct3D 9) (англ.). Проверено 4 августа 2010. Архивировано 23 августа 2011 года.

СсылкиПравить