Аффинное преобразование

Аффи́нное преобразование, иногда афинное преобразование (от лат. affinis «соприкасающийся, близкий, смежный») — отображение плоскости или пространства в себя, при котором параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся — в пересекающиеся, скрещивающиеся — в скрещивающиеся.

красный треугольник переходит в синий при аффинном преобразовании $(x,y)\mapsto (y-100,2\cdot x+y-100)$, если новые координаты отобразить в прежнем базисе

Определения

Геометрическое

Биекция евклидова пространства или плоскости в себя, отображающая параллельные прямые в параллельные прямые, называется аффинным преобразованием.

Алгебраическое

Аффинное преобразование $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ есть преобразование вида

$f(x)=M\cdot x+v,$

где $M$ — обратимая матрица и $v\in \mathbb {R} ^{n}$.

Комментарии

• Заметим, что в геометрическом определении не предполагается непрерывность. Однако непрерывность следует из определения не вполне тривиальным образом. Более того, оба определения равносильны по так называемой основной теореме аффинной геометрии.

• Заметим, что преобразование является аффинным, если его можно получить следующим образом:
  1. Выбрать «новый» базис пространства с «новым» началом координат $v$;
  2. Каждой точке $x$ пространства поставить в соответствие точку $f(x)$, имеющую те же координаты относительно «новой» системы координат, что и $x$ в «старой».

Примеры

Примерами аффинных преобразований являются

• движения;
• растяжения;
• преобразования подобия
• повороты.

Свойства

• При аффинном преобразовании прямая переходит в прямую.
  • Если размерность пространства ${n}\geqslant 2$, то любое преобразование пространства (то есть биекция пространства на себя), которое переводит прямые в прямые, является аффинным. Это определение используется в аксиоматическом построении аффинной геометрии
• Аффинные преобразования образуют группу относительно композиции.
• Любые три точки, не лежащие на одной прямой и их образы соответственно (не лежащие на одной прямой) однозначно задают аффинное преобразование плоскости.

Типы аффинных преобразований

• Эквиаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее площадь (также сохраняется аффинная длина).
• Центроаффинное преобразование — аффинное преобразование, сохраняющее неподвижной одну точку.

Матричное представление

Как и другие проективные преобразования, аффинное преобразование $f(x)=M\cdot x+v$ можно записать как матрицу перехода в однородных координатах:

${\begin{pmatrix}f(x)\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M&v\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}$

Матричное представление используется, в частности, для записи аффинных преобразований в компьютерной графике. Указанная выше форма используется в OpenGL; в DirectX (где координаты представляются в виде матриц 1×4) она транспонирована.

Вариации и обобщения

• В приведённом выше определении аффинного преобразования можно использовать любое поле, а не только поле вещественных чисел $\mathbb {R}$.
• Отображение между метрическими пространствами называется аффинным, если оно переводит геодезические в геодезические (с учётом параметризации).
• Аффинные преобразования пространства $\mathbb {R} ^{n}$ являются частным случаем проективных преобразований того же пространства. В свою очередь, проективные преобразования пространства $\mathbb {R} ^{n}$ можно представить как аффинные преобразования пространства $\mathbb {R} ^{n+1}$.

См. также

• Способ «резинового листа» (Локально-аффинная трансформация)

Ссылки

• Аффинное преобразование плоскости и его матричное представление Архивная копия от 24 ноября 2007 на Wayback Machine
• Ершов А.В. Линейные и аффинные пространства и отображения Архивная копия от 3 декабря 2021 на Wayback Machine. М.: МФТИ, 2016. 69 с.