Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы $M$ с элементами из некоторого поля $K$ невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• $M$ обратима, то есть существует обратная матрица;
• строки (столбцы) матрицы $M$ линейно независимы;
• ранг матрицы $M$ равен её размерности.

Совокупность всех невырожденных матриц порядка $n$ образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как $GL(n)$. Если требуется явно указать, какому полю $K$ должны принадлежать элементы матрицы, то пишут $GL(n,K)$. Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка $n$ обозначается $GL(n,\mathbb {R} )$, а если комплексные числа, то $GL(n,\mathbb {C} )$.

Матрица порядка $n$ заведомо невырождена, если это:

• диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу $D(n,K)$);
• верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу $T(n,K)$);
• нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
• унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу $UT(n,K)$).
• матрица $M$ является результатом взятия матричной экспоненты от матрицы $A\in M_{n}(\mathbb {C} )$, то есть $M=e^{A}$

Литература

• Кострикин, А. И. Введение в алгебру (рус.). — М.: Наука, 1977. — 496 с.
• Кострикин, А. И., Манин, Ю. И. Линейная алгебра и геометрия (рус.). — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Рохлин, В. А., Фукс, Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы (рус.). — М.: Наука, 1977.
• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц (рус.). — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.