Основная теорема аффинной геометрии

Основная теорема аффи́нной геометрии — обобщение теоремы евклидовой геометрии о том, что любое биективное преобразование евклидова пространства размерности не менее 2 является аффинным, на случай произвольных аффинных пространств и произвольных полуаффиных отображений между ними. Теорема имеет довольно простую формулировку, однако её доказательство длинно и неочевидно.

Формулировка

Пусть $V$ — векторное пространство над телом $K$, $V'$ — векторное пространство над телом $K'$. Определим полулинейное отображение как отображение $f:V\rightarrow V'$, удовлетворяющее свойству $f(\lambda x+\mu y)=\phi (\lambda )f(x)+\phi (\mu )f(y)\ \forall x,y\in V\ \forall \lambda ,\mu \in K$, где $\phi$ — изоморфизм тел $K$ и $K'$. Пусть $S$ и $S'$ — аффинные пространства, ассоциированные с $V$ и $V'$ соответственно. Определим полуаффинное отображение как отображение $F:S\rightarrow S'$, удовлетворяющее свойству $F(A)-F(B)=f(A-B)\ \forall A,B\in S$, где $f:V\rightarrow V'$ — полулинейное отображение.

Основная теорема аффинной геометрии: пусть некоторое отображение $F:S\rightarrow S'$ удовлетворяет следующим условиям:

• $\operatorname {dim} {{\texttt {<}}F(S){\texttt {>}}}\geq 2$
• Если $K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, то образ любой прямой прямая или точка
• Если $K=K'=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, то образ любой плоскости плоскость, прямая или точка

Тогда $F$ — полуаффинное отображение.

Доказательство

Лемма 1. Пусть $S$ и $S'$ аффинные пространства ассоциированные с $V$ и $V'$ над телами $K$ и $K'$ соответственно, $\operatorname {dim} {S}\geq 2$, $F:S\rightarrow S'$ — инъективное отображение, переводящее прямые в прямые и сохраняющее параллельность. Тогда $F$ — полуаффинное отображение.

Доказательство.

1). Корректность определения $f$

Чтобы $F$ было полуаффинным, нужно, чтобы отображение $f:V\rightarrow V'$, определённое как $f({\overrightarrow {AB}})=F(B)-F(A)\ \forall A,B\in S$, было полулинейным. Для начала необходимо доказать корректность этого определения. Для этого нужно доказать, что равные закреплённые векторы переходят в равные закреплённые векторы.
Отметим, что вследствие инъективности, разные прямые переходят в разные прямые.
Пусть ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}\neq {\overrightarrow {0}}$. Тогда ${\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}}+{\overrightarrow {DC}}={\overrightarrow {AC}}\Rightarrow {\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {AC}}$
Пусть $F(A)=A',...,F(D)=D'$. Если $A,B,C,D$ не лежат на одной прямой, то $AB$ и $CD$ переходят в различные параллельные прямые, $BD$ и $AC$ переходят в различные параллельные прямые. Пусть ${\overrightarrow {C'D'}}=\lambda {\overrightarrow {A'B'}}$, ${\overrightarrow {B'D'}}=\mu {\overrightarrow {A'C'}}$. Тогда ${\overrightarrow {0}}={\overrightarrow {A'B'}}+{\overrightarrow {B'D'}}+{\overrightarrow {D'C'}}+{\overrightarrow {C'A'}}={\overrightarrow {A'B'}}+\mu {\overrightarrow {A'C'}}-\lambda {\overrightarrow {A'B'}}-{\overrightarrow {A'C'}}=(1-\lambda ){\overrightarrow {A'B'}}+(\mu -1){\overrightarrow {A'C'}}$. Но $A',B',C'$ не лежат на одной прямой $\Rightarrow {\overrightarrow {A'B'}}$ и ${\overrightarrow {A'C'}}$ — неколлинеарны $\Rightarrow \lambda =1\Rightarrow {\overrightarrow {C'D'}}={\overrightarrow {A'B'}}$
Если $A,B,C,D$ лежат на одной прямой, то возьмём некоторую точку $G\in S\backslash {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ и $H=G+{\overrightarrow {AB}}$. Тогда ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {GH}}={\overrightarrow {CD}}$ и $f$ — корректно определено.

2). Аддитивность $f$

$f({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})=f({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BC}})=f({\overrightarrow {AC}})=F(C)-F(A)=F(C)-F(B)+F(B)-F(A)=f({\overrightarrow {AB}})+f({\overrightarrow {BC}})=f({\overrightarrow {u}})+f({\overrightarrow {v}})$

3). Корректность определения $\phi$

Определим $\phi :K\rightarrow K'$ как такое отображение, для которого $f(\lambda {\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda )f({\overrightarrow {u}})\ \forall \lambda \in K\forall {\overrightarrow {u}}\in V$ и докажем корректность его определения.

Пусть ${\overrightarrow {u}}\in V$ ненулевой вектор, $\lambda \in K$, ${\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {u}},C=A+\lambda {\overrightarrow {u}}$. Тогда $A,B,C$ — лежат на одной прямой $F(A),F(B),F(C)$ — тоже лежат на одной прямой $f(\lambda {\overrightarrow {u}})=\alpha f({\overrightarrow {u}})$. Осталось доказать, что $\alpha$ зависит только от $\lambda$.

Возьмём два ненулевых вектора ${\overrightarrow {u}}$ и ${\overrightarrow {v}}$. Пусть $f(\lambda {\overrightarrow {u}})=\alpha f({\overrightarrow {u}}),f(\lambda {\overrightarrow {v}})=\beta f({\overrightarrow {b}})$. Если ${\overrightarrow {u}}$ и ${\overrightarrow {v}}$ — неколлинеарны, то их образы при $f$ тоже неколлинеарны (иначе образы двух несовпадающих прямых, проходящих через $A$ с направляющими ${\overrightarrow {u}}$ и ${\overrightarrow {v}}$ совпали бы, что невозможно в силу инъективности $F$). Пусть $f(\lambda ({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}))=\gamma f({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})$. Тогда $f(\lambda ({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}}))=\alpha f({\overrightarrow {u}})+\beta f({\overrightarrow {v}})=\gamma f({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})=\gamma f({\overrightarrow {u}})+\gamma f({\overrightarrow {v}}))\Rightarrow \alpha =\gamma =\beta$.
Если ${\overrightarrow {u}}$ и ${\overrightarrow {v}}$ — коллинеарны, то выберем вектор ${\overrightarrow {w}}$ линейно независимый с ними. Пусть $f(\lambda {\overrightarrow {w}})=\gamma f({\overrightarrow {w}})$. Тогда по предыдущему утверждению $\alpha =\gamma =\beta$ и отображение $\phi$ корректно определено.

4). $\phi$ — изоморфизм тел

Пусть ${\overrightarrow {u}}$ — ненулевой вектор. Тогда $f((\lambda +\mu ){\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda +\mu )f({\overrightarrow {u}})=f(\lambda {\overrightarrow {u}})+f(\mu {\overrightarrow {u}})=(\phi (\lambda )+\phi (\mu ))f({\overrightarrow {u}})$. Образ ненулевого вектора при $f$ ненулевой, а значит, $\phi (\lambda +\mu )=\phi (\lambda )+\phi (\mu )$.

$f((\lambda \mu ){\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda \mu )f({\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda )f(\mu {\overrightarrow {u}})=\phi (\lambda )\phi (\mu )f({\overrightarrow {u}})$ и $\phi (\lambda \mu )=\phi (\lambda )+phi(\mu )$ так как образ ненулевого вектора ненулевой.

Пусть $g(\lambda )=A+\lambda {\overrightarrow {u}}$ — биекция $K$ на $D=A+{\overrightarrow {u}}$, ограничение $F$ на $D$ — биекция в $F(D)$. Тогда $F(g(\lambda ))=F(A)+\phi (\lambda )f({\overrightarrow {u}})$ — биекция $K$ на $F(D)$, из чего следует, что $\phi$ — биекция.

Лемма 2 (геометрическая характеризация аффинных подпространств). Пусть $K$ имеет не менее трёх элементов. Если подмножество $S$ аффинного пространства $S'$ ассоциированного с векторным пространством $V$ над $K$ вместе с любыми двумя точками $A,B$ включает в себя ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$, то это подмножество — аффинное подпространство в $S$.

Доказательство. Для доказательства этой леммы необходимо доказать, что $E=\{{\overrightarrow {AB}}|A,B\in S\}$ — подпространство в $V$.

${\overrightarrow {v}}\in E\Rightarrow \exists A,B\in S:{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AB}}\Rightarrow {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}\subset S\Rightarrow A+\lambda {\overrightarrow {AB}}=C\in S\Rightarrow {\overrightarrow {AC}}=\lambda {\overrightarrow {AB}}=\lambda {\overrightarrow {v}}\in E$

Докажем, что $\forall A,B,C\in S:A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in S$. Возьмём $k\in K\backslash \{0,1\}$. Так как ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}\subset S,{\texttt {<}}A,C{\texttt {>}}\subset S$, то $B'=A+k^{-1}{\overrightarrow {AB}}\in S,C'=A+(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}\in S$. Тогда $C'+k{\overrightarrow {C'B'}}=A+{\overrightarrow {AC'}}+k{\overrightarrow {C'B'}}=A+(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}+kk^{-1}{\overrightarrow {AB}}-k(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}=A+{\overrightarrow {AB}}+(1-k)^{-1}(1-k){\overrightarrow {AC}}=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in S$.

Пусть ${\overrightarrow {v}},{\overrightarrow {u}}\in E\Rightarrow \exists A,B,C,D\in S:{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {u}}={\overrightarrow {CD}}$. Тогда $G=C+{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {CA}}\in S,H=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AG}}\in S$. ${\overrightarrow {AH}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AG}}={\overrightarrow {AB}}+C+{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {CA}}-A={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CD}}\in E\Rightarrow E$ — подпространство в $V$.

Лемма 2 для $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .$ Если подмножество аффинного пространства $S$ ассоциированного с векторным пространством $V$ над $K$ вместе с любыми тремя точками $A,B,C$ включает в себя ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$, то это подмножество — аффинное подпространство в $S$.

Доказательство.

${\overrightarrow {v}}\in E\Rightarrow 0{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {0}}\in E,1{\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {v}}\in E$

Пусть $\forall A,B,C\in S\Rightarrow A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}\subset S\Rightarrow {\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\in E$. Далее аналогично предыдущему доказательству.

Доказательство основной теоремы аффинной геометрии.

Основная идея доказательства теоремы для общего случая — факторизация отображения $F$ в композицию инъективной и сюръективной составляющих и доказательство полуаффинности каждой в отдельности. Далее везде образы точек $A,B,C,...$ при $F$ соответственно $A',B',C',...$.

Для $K\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

1). Образ подпространства $R$ в $S$ при $F$ — подпространство в $S'$

Пусть $F(R)=R'$. Возьмём произвольные две точки $A',B'\in R'$ и их прообразы $A,B\in R$. Тогда ${\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})\subset R'\Rightarrow$ по лемме 2 $R'$ — подпространство в $R$.

2). $\forall A,B\in S\ F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}$

Если $A=B$, то $A'=B'$ и $F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}$
Если $A\neq B$ и $A'\neq B'$, то ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ — прямая, и образом должна быть прямая, проходящая через $A',B'$, то есть ${\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}$
Если $A\neq B$ и $A'=B'$, то предположим, что есть точка $C\in {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ такая, что $C'\neq A'$. Так как $\operatorname {dim} {F(S)}\geq 2$ можно построить параллелограмм $A'C'H'G'$. $F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',C'{\texttt {>}}\Rightarrow G\notin {\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ ($G$ любой прообраз $G'$). По (1) подпространства переходят в подпространства ${\texttt {<}}A',C',G'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,C,G{\texttt {>}})\Rightarrow$ в ${\texttt {<}}A',C',G'{\texttt {>}}$ есть прообраз $H'$ (обозначим его ${\displaystyle }$). Тогда $CH\parallel AG\parallel BG$, так как если бы эти прямые пересекались, то у одной точки было бы 2 образа. Но $AG$ и $BG$ пересекаются в точке $G$, а значит, не могут быть параллельными. Противоречие. Значит все точки ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$ переходят в одну и $F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}$

3). Прообраз подпространства $R'$ в $S'$ при $F$ — подпространство в $S$ или пустое множество.

Пусть $R=F^{-1}(R')$ непусто, $A,B\in R$. По (2) $F({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B'{\texttt {>}}\subset R'$, так как $R'$ — подпространство $S'$. Тогда ${\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}\subset R\Rightarrow R$ — подпространство по лемме 2.

Для $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$

1). Образ подпространства $R$ в $S$ при $F$ — подпространство в $S'$

Пусть $F(R)=R'$. Возьмём произвольные три точки $A',B',C'\in R'$ и их прообразы $A,B\in R$. Тогда ${\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})\subset R'\Rightarrow$ по лемме 2 $R'$ — подпространство в $R$.

2). $\forall A,B,C\in S\ F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$

Если $A=B=C$, то $A'=B'=C'$ и $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'=F(C)=C'={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$
Если $A=B\neq C$, то ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ — прямая $\Rightarrow {\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}=\{A,C\}\Rightarrow F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=\{A',C'\}={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$
Если $A\neq B\neq C$ и $A'\neq B'\neq C'$, то ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ переходит в плоскость, проходящую через $A',B',C'$, то есть $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$
Если $A\neq B\neq C$ и $A'=B'\neq C'$, то ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ переходит в прямую, проходящую через $A',B',C'$, то есть $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$
Если $A\neq B\neq C$ и $A'=B'=C'$, то ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ переходит в прямую или точку. Предположим, что в прямую, то есть для $D=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}}\ F(D)=D'\neq A'$. Так как $\operatorname {dim} {F(S)}\geq 2$ выберем точку $G'$ так, чтобы она не совпадала ни с $A',D'$. Возьмём её прообраз $G$. В плоскости $ABG$ есть ещё одна точка. Назовём её $H$. Плоскость $ABG$ переходит в плоскость, из-за чего $H'$ это новая точка. Плоскость $ABC$ состоит из двух параллельных $GH$ прямых, одна из которых переходит в точку $A'$, а другая в прямую. Возьмём ту, которая переходит в точку. Тогда вместе с $GH$ они образуют плоскость, которая переходит в множество из трёх точек. Противоречие. Значит ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}$ переходит в точку и $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F(A)=A'=F(B)=B'=F(C)=C'={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$.

3). Прообраз подпространства $R'$ в $S'$ при $F$ — подпространство в $S$ или пустое множество.

Пусть $R=F^{-1}(R')$ непусто, $A,B,C\in R$. По (2) $F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}\subset R'$, так как $R'$ — подпространство $S'$. Тогда ${\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}}\subset R\Rightarrow R$ — подпространство по лемме 2.

Для любого тела

4). $X$ — подмножество $S$. Тогда $F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})={\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}$

$X\subset {\texttt {<}}X{\texttt {>}}\Rightarrow F(X)\subset F({\texttt {<}}X{\texttt {>}}).$ Но по (1) $F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})$ — аффинное подпространство $\Rightarrow {\texttt {<}}F(x){\texttt {>}}\subset F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})$.

$F(X)\subset {\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}\Rightarrow X\subset F^{-1}({\texttt {<}}F(X){\texttt {>}})$. По (3) $F^{-1}({\texttt {<}}F(X){\texttt {>}})$ — аффинное подпространство $\Rightarrow {\texttt {<}}X{\texttt {>}}\subset F^{-1}({\texttt {<}}F(X){\texttt {>}})\Rightarrow F({\texttt {<}}X{\texttt {>}})\subset {\texttt {<}}F(X){\texttt {>}}$

5). Образы параллельных прямых либо совпадают, либо не пересекаются

Обозначим эти прямые как $L_{1},L_{2}$, их образы $L_{1}',L_{2}'$. Пусть $L_{1}'$ и $L_{2}'$ пересекаются. Тогда на каждой из прямой $L_{1}$ и $L_{2}$ есть точка $A_{1}$ и $A_{2}$ соответственно такие, что их образ есть эта точка пересечения. Выберем на $L_{1}$ и $L_{2}$ по ещё одной точке $B_{1}$ и $B_{2}$ соответственно. Тогда $L_{1}'=F(L_{1})=F({\texttt {<}}A_{1},B_{1}{\texttt {>}})={\texttt {<}}A_{1}',B_{1}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A_{1}',A_{2}',B_{1}'{\texttt {>}}=F({\texttt {<}}A_{1},A_{2},B_{1}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A_{1},A_{2},B_{2}{\texttt {>}})={\texttt {<}}A_{1}',A_{2}',B_{2}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A_{2}',B_{2}'{\texttt {>}}=F({\texttt {<}}A_{2},B_{2}{\texttt {>}})=F(L_{2})=L_{2}'$

6). Пусть образы параллельных прямых не имеют общих точек. Тогда это либо параллельные прямые, либо точки

Возьмём две различные точки $A,B\in L_{1}$ и точку $C\in L_{2}$. Тогда $F({\texttt {<}}L_{1},L_{2}{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})={\texttt {<}}L_{1}',L_{2}'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}\Rightarrow L_{1}'$ и $L_{2}'$ лежат в одной плоскости.
Пусть $L_{1}'$ — прямая, тогда ${\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$ имеет размерность $2$. Пусть $L_{2}'$ — точка, тогда возьмём ещё одну точку $D\neq C$ на прямой $L_{2}$ и ${\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}=F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})=F({\texttt {<}}A,C,D{\texttt {>}})={\texttt {<}}A',C',D'{\texttt {>}}={\texttt {<}}A',C'{\texttt {>}}$, то есть размерность ${\texttt {<}}A',B',C'{\texttt {>}}$ меньше $2$. Противоречие. Значит $L_{1}',L_{2}'$ либо оба прямые, либо оба точки, причём если это прямые, то параллельные, так как они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

7). Все непустые прообразы точек имеют одно и то же направляющее подпространство

Пусть $A',B'$ разные точки $S'$ с непустым прообразом. Обозначим эти прообразы $A^{*},B^{*}$. По (3) это аффинные подпространства, а значит, у них есть направляющие подпространства (обозначим $E$ и $W$ соответственно). Пусть ${\overrightarrow {v}}\in E$, ${\overrightarrow {v}}\neq {\overrightarrow {0}}$. Возьмём некоторую точку $A_{1}\in A^{*}$ и $A_{2}=A_{1}+{\overrightarrow {v}}$. Так же возьмём $B_{1}\in B^{*}$ и $B_{2}=B_{1}+{\overrightarrow {v}}$. $A_{2}\in A^{*}\Rightarrow {\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}}\subset A^{*}\Rightarrow F({\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}})=\{A\}$. Прямая ${\texttt {<}}A_{1},A_{2}{\texttt {>}}$ параллельна ${\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt {>}}\Rightarrow F({\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt {>}})=\{B\}\Rightarrow {\texttt {<}}B_{1},B_{2}{\texttt {>}}\subset B^{*}\Rightarrow {\overrightarrow {v}}\in W\Rightarrow E\subset W$. Поменяв местами $E$ и $W$ получаем $W\subset E$, а значит $E=W$.

8). Сюръективная составляющая F — аффинное отображение

Разложим $F$ на инъективную и сюръективную составляющие $F=h\circ g$. По определению сюръективной составляющей $g:S\rightarrow S/\sim$, где $\sim$ отношение эквивалентности, определённое как $A\sim B\Leftrightarrow F(A)=F(B)$, $g$ — проекция множества в фактормножество. Обозначим за $W$ направляющее подпространство непустых прообразов при $F$ точек. Тогда $A\sim B\Leftrightarrow F(A)=F(B)\Leftrightarrow A\in F^{-1}(F(B))\Leftrightarrow A\in B+W\Leftrightarrow A-B\in W$, что совпадает с определением отношения эквивалентности при построение факторпространства аффинного пространства, а значит, $S/\sim =S/W$ и проекция $g$ является аффинным отображением.

9). Инъективная составляющая F — полуаффинное отображение

Пусть $L$ — некоторая прямая в $S/W$. Так как $g$ — аффинно, то её прообраз $L^{*}$ при $g$ подпространство в $S$. Возьмём две различные точки $A,B\in L$ и некоторые точки $A'',B''$ из их прообразов. Тогда $g({\texttt {<}}A'',B''{\texttt {>}})={\texttt {<}}A,B{\texttt {>}}$. В свою очередь $F({\texttt {<}}A'',B''{\texttt {>}})=h(g({\texttt {<}}A'',B''{\texttt {>}}))=h({\texttt {<}}A,B{\texttt {>}})$ либо прямая, либо точка. Но если бы это была точка, это бы противоречило инъективности $h$, а значит, это прямая.

Пусть $L_{1},L_{2}$ — некоторые параллельные прямые в $S/W$. Аналогично предыдущим выкладкам берём точки $A_{1}'',B_{1}'',A_{2}'',B_{2}''\in S$ такие, что $g({\texttt {<}}A_{1}'',B_{1}''{\texttt {>}})=L_{1},g({\texttt {<}}A_{2}'',B_{2}''{\texttt {>}})=L_{2}$. Но $F({\texttt {<}}A_{i}'',B_{i}''{\texttt {>}})=h(g({\texttt {<}}A_{i}'',B_{i}''{\texttt {>}}))=h(L_{i})$ либо совпадают, либо параллельны, либо точки. Первый и третий случай противоречат инъективности $h$, что означает, что они параллельны.

Если $S/W$ одна точка, то тогда $F(S)=h(g(S))=h(S/W)$ одна точка. Если $S/W$ — прямая, то $F(S)=h(g(S))=h(S/W)$ прямая, так как $h$ переводит прямые в прямые. Значит, $\operatorname {dim} {S/W}\geq 2$.

Все условия леммы 1 выполнены, а значит, $h$ — полуаффинное отображение.

10). Основная теорема аффинной геометрии

Любое аффинное отображение полуаффинное, следовательно, $g$ — полуаффинно. Композиция полуаффинных отображений полуаффинно, а значит, $F=h\circ g$ — полуаффинно.

Вариации и обобщения

• Классической основной теоремой аффинной геометрии называют следствие приведённой выше теоремы для евклидовых пространств. Она формулируется так:

Биективное отображение евклидова пространства размерности не менее 2 в себя, переводящее прямые в прямые, является аффинным преобразованием.

Этот факт следует из того, что полуаффинные отображения между пространствами над полем $\mathbb {R}$ являются аффинными, так как на $\mathbb {R}$ есть только тривиальный автоморфизм.

• Более общий случай: если тела, над которыми определены пространства, имеют только тривиальный автоморфизм, то везде в формулировке можно заменить термин полуаффинное отображение на аффинное отображение.
• Теорема верна и в обратную сторону, доказательство этого сводится к свойству полулинейных отображений, гласящему, что подпространства переходят в подпространство. Таким образом, теорема устанавливает эквивалентность двух определений полуаффинного отображения.
• Если в формулировке дополнительно потребовать сюръективность $F$, конечномерность $S$ и $S'$, а также совпадение их размерностей, то в случае $K,K'\neq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ условие того, что образ прямой прямая или точка, можно ослабить до 3 коллинеарные точки переходят в 3 коллинеарные точки.

Доказательство

Лемма. Любая точка конечномерного аффинного пространства над телом отличным от $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ лежит на некоторой прямой, проходящей через не общие точки любых пересекающихся прямой и гиперплоскости (либо это и есть эта точка пересечения). 

Доказательство. Возьмём гиперплоскость ${\texttt {<}}A,A_{1},...,A_{n-1}{\texttt {>}}$ и прямую ${\texttt {<}}A,A_{n}{\texttt {>}}$. Тогда любая точка $X$ из пространства представима в виде $X=A+{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}},B\in {\texttt {<}}A,A_{1},...,A_{n-1}{\texttt {>}},C\in {\texttt {<}}A,A_{n}{\texttt {>}}$. Аналогично лемме 2 из доказательства основной теоремы аффинной геометрии возьмём $k\in K\backslash \{0,1\}$, $B'=A+k^{-1}{\overrightarrow {AB}},C'=A+(1-k)^{-1}{\overrightarrow {AC}}$ и $X\in {\texttt {<}}B',C'{\texttt {>}}$.

Основное доказательство.

Предположим, что есть некоторая прямая $L$, которая не переходит в прямую. Но по условию коллинеарные точки переходят в коллинеарные, что означает, что есть некоторая прямая $L'$, в которой лежит образ $L$. По предположению есть такая точка $C'\in L'$, что точка её прообраза $C\notin L$. Также возьмём две разные точки $A,B\in L$. Тогда прямые ${\texttt {<}}A,C{\texttt {>}}$ и ${\texttt {<}}B,C{\texttt {>}}$ пересекаются, и по лемме любая точка плоскости лежит на некоторой прямой $L_{1}$, пересекающей $AC$ и $BC$ в разных точках. $F(AC),F(BC)\subset L'\Rightarrow F(L_{1})\subset L'\Rightarrow F(X)\in L'\Rightarrow F({\texttt {<}}A,B,C{\texttt {>}})\subset L'$.

Индукция по размерности: пусть образ некоторого подпространства $R$ размерности $k<n$ лежит в подпространстве $R'$ размерности $k-1$. Возьмём некоторую точку $C'\in S',C'\notin R'$ и точку её прообраза $C\notin R$. Возьмём прямую $L_{2}$ проходящую через $C$ и пересекающую $R$. Тогда любая точка $X$ подпространства ${\texttt {<}}R,C{\texttt {>}}$ лежит на некоторой прямой $L_{3}$, пересекающей $L_{2}$ и $R$ в разных точках и $F(X)\subset F(L_{3})\subset {\texttt {<}}R',C'{\texttt {>}}$, то есть для любой размерности $k\leq n$ есть подпространство, образ которого лежит в подпространстве меньшей размерности, что означает, что $\operatorname {dim} {S}<\operatorname {dim} {S'}$. Противоречие. Значит прямые переходят в прямые и условия основной теоремы аффинной геометрии выполнены.

Применение

Основная теорема аффинной геометрии позволяет определить полуаффинные отображения на основе чисто геометрических свойств. Такое определение часто используется в аксиоматических теориях, а определение данное в начале статьи доказывается как свойство. Однако такое определение сопряжено с некоторыми трудностями, начиная со сложности доказательства эквивалентности двух разных определений и заканчивая невозможностью определить таким образом полуаффинные отображения с прямой или точкой в качестве образа.

См. также

• Полуаффинное отображение
• Полулинейное отображение

Литература

• Берже М.  Геометрия / И. Х. Сабитов; пер. с франц. Ю. Н. Сударёв, А. В. Пажитнов, С. В. Чмутов. — М., 1984. — Т. 1. — 560 с.
• Лелон-Ферран Ж.  Основания геометрии / пер. с франц. В. В. Рыжков. — М., 1989. — 312 с. — ISBN 5-03-001008-4.
• Прасолов В. В., Тихомиров В. М.  Геометрия. — 2-е изд. — М., 2007. — 328 с. — ISBN 978-5-94057-267-1.