Сфера Римана

Сфе́ра Ри́мана — наглядное изображение множества в виде сферы, подобно тому, как множество действительных чисел изображают в виде прямой и как множество комплексных чисел изображает в виде плоскости. По этой причине термин «сфера Римана» часто используется как синоним к термину «множество комплексных чисел, дополненных бесконечно удалённой точкой», наряду с термином «расширенная комплексная плоскость».[1]

При более формальном подходе под сферой Римана понимается сфера в пространстве , задаваемая уравнением , со стереографической проекцией в плоскость , отождествляемой с комплексной плоскостью. Именно об этой формально определённой конструкции далее пойдёт речь.[1]

ОписаниеПравить

 
Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость

Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство  . Координаты точек трёхмерного пространства будем обозначать  . В   рассмотрим сферу  , касающуюся плоскости   в точке  , с диаметром  . Такая сфера задаётся уравнением

 .

Каждой точке плоскости   можно поставить в соответствие точку сферы   следующим образом. Проведём через точку   и   прямую; эта прямая пересечёт сферу в ещё одной точке, которую и будем считать соответствующей точке  . Такое соответствие называется стереографической проекцией с центром в  . Каждой точке плоскости оно однозначно сопоставляет точку сферы. Однако не каждой точке сферы сопоставляется точка плоскости: точке   не соответствует никакая точка плоскости. Таким образом, мы имеем взаимо-однозначное соответствие между плоскостью   и  .

Плоскость   можно отождествить с комплексной плоскостью  ,  . Тогда определённое выше соответствие задаёт непрерывное взаимо-однозначное отображение  . Чтобы достроить это отображение до биекции на всю сферу, дополним множество   ещё одной точкой, которую будем считать прообразом точки  . Эту точку будем называть бесконечно удалённой точкой и обозначим её через  . Мы получили биекцию  . Множество   называется расширенным множеством комплексных чисел, сфера  сферой Римана.[1]

Описанная конструкция часто используется во многих учебниках для наглядного определения расширенного множества комплексных чисел. Действительно, топологию на этом множестве можно определить, положив открытыми множествами прообразы открытых множеств по  , операции на бесконечность распространяются по непрерывности. Определение при помощи сферы Римана полностью описывает суть расширения множества комплексных чисел, к тому же, представляет её наглядную интерпретацию.

Формальное определениеПравить

Сфера  , задаваемая в пространстве   уравнением

 ,

вместе с отображением  , задаваемым как

 

называется сферой Римана.

Отображение в определении можно заменить на обратное, смысл от этого не изменится.

КоординатыПравить

Численные координаты на расширенном множестве комплексных чисел вводятся тремя способами:

  • аффинная комплексная координата  , способная принимать значение  ;
  • проективные однородные комплексные координаты  ;
  • трёхмерные вещественные координаты  , связанные уравнением:
 

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

 
 
 
 [1]

Сферическая метрикаПравить

Сфера Римана позволяет ввести на множестве   иную метрику, отличную от евклидовой. Эта метрика называется сферической метрикой. Она определяется как евклидова метрика между соответствующими точками на сфере Римана. То есть, для двух чисел  

 

Нетрудно получить прямое выражение такого расстояния.

 

Евклидова и сферические метрики эквивалентны на  . Особенность сферической метрики в том, что она может быть продолжена на расширенное множество комплексных чисел, в отличие от евклидовой. Такое продолжение определяется точно также. Для двух элементов  

 

Прямое выражение для такого расстояния, когда одна из точек бесконечность, записывается иначе.

 [1]

АвтоморфизмыПравить

Автоморфизмами области   называются голоморфные биективные отображения этой области в себя. В случае автоморфизмов всего расширенного множества комплексных чисел обычно используют термин «автоморфизмы сферы Римана» — пример того, как термин «сфера Римана» используется в качестве синонима к термину «расширенное множество комплексных чисел». Автоморфизмами сферы Римана являются дробно-линейные преобразования (или преобразования Мёбиуса). Пусть

 

Дробно-линейное преобразование   определяется как

 ,

достроенное до непрерывности во всех точках, где это выражение напрямую не определено.

Дробно-линейные отображения на сфере Римана перводят окружности в окружности.[2]

ПриложенияПравить

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту   отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч.   (см. рис.)

В таком случае верны соотношения:

 
 

В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.

Внутренность сферыПравить

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

  1. 1 2 3 4 5 Шабат, 1969, с. 16.
  2. Шабат, 1969, с. 47.