Открыть главное меню

Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости , являющаяся комплексной проективной прямой . Как вещественное дифференцируемое многообразие диффеоморфна двумерной сфере .

КоординатыПравить

Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:

  • аффинная комплексная координата z, способная принимать значение  ;
  • проективные комплексные координаты  ;
  • трёхмерные вещественные координаты  , связанные уравнением:
 .
 
Сфера Римана стереографической проекцией переводится на плоскость

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

 
 
 

  задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.

Преобразования МёбиусаПравить

Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть   — матрица из  . Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:

 

ПриложенияПравить

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту   отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч.   (см. рис.)

В таком случае верны соотношения:

 
 

В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.

Внутренность сферыПравить

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3, а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

СсылкиПравить