Преобразование Мёбиуса

(перенаправлено с «Преобразования Мёбиуса»)

Преобразование Мёбиуса — дробно-линейная функция одного комплексного переменного, тождественно не равная константе:

Вид преобразований на комплексной плоскости (серая) и сфере Римана (чёрная)
Не следует путать с обращением Мёбиуса.

Легко проверяются следующие простые свойства:

  1. Тождественное отображение также является частным случаем дробно-линейной функции. Достаточно подставить .
  2. Суперпозиция дробно-линейных отображений также будет представлять собой дробно-линейную функцию.
  3. Функция, обратная дробно-линейной, также будет являться такой.

Отсюда следует, что дробно-линейные отображения будут образовывать группу относительно операции суперпозиции (группа автоморфизмов сферы Римана, именуемая также группой Мёбиуса). Эта группа является комплексно-трёхмерной группой Ли.

Алгебраические свойстваПравить

При умножении параметров  ,  ,  ,   на ненулевое комплексное число преобразование не меняется. Говоря формально, группа Мёбиуса является проективизацией группы  , то есть имеет место эпиморфизм:  .

Группа Мёбиуса изоморфна специальной ортохронной группе Лоренца  .

Предположим, что матрица, соответствующая преобразованию, нормализована, то есть удовлетворяет условию  . Тогда, в зависимости от следа этой матрицы, равного  , можно классифицировать все дробно-линейные отображения на три типа:

  • эллиптические:  ;
  • параболические:  ;
  • гиперболические:  .

Геометрические свойстваПравить

Во-первых, любое дробно-линейное отображение может быть представлено в виде комбинации сдвигов, инверсий, поворотов и растяжений. Это доказывается просто — произвольное отображение   разложимо в суперпозицию четырёх функций:

 

где

 

Во-вторых, непосредственно из этого сразу следует свойство сохранения углов и сохранения окружностей при дробно-линейном отображении, так как все отображения, входящие в суперпозицию, конформны. Здесь подразумеваются окружности на сфере Римана, в число которых входят прямые на плоскости.

Далее, для трёх попарно различных точек   существует единственное дробно-линейное отображение, переводящее эти три точки в заданные три попарно различные точки  . Оно строится, исходя из того, что дробно-линейные отображения сохраняют ангармоническое отношение четырёх точек комплексной плоскости. Если точка   является образом точки  , то выполняется равенство

 

которое (при условии, что   при  ) однозначно определяет искомое отображение  

Преобразование Мёбиуса и единичный кругПравить

Преобразование Мёбиуса

 

является автоморфизмом единичного круга   тогда и только тогда, когда   и  .

Как для сферы Римана, так и для единичного круга дробно-линейными функциями исчерпываются все конформные автоморфизмы. Автоморфизмы единичного круга образуют вещественно-трёхмерную подгруппу группы Мёбиуса; каждый из них выражается в виде:

 

ПримерыПравить

Одним из важных примеров дробно-линейной функции является преобразование Кэли:

 

Оно связывает две канонические области на комплексной плоскости, отображая верхнюю полуплоскость   в единичный круг  .

ЛитератураПравить

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

СсылкиПравить