Функция Мёбиуса

(перенаправлено с «Обращение Мёбиуса»)

Функция Мёбиуса  — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

ОпределениеПравить

  определена для всех натуральных чисел   и принимает значения   в зависимости от характера разложения числа   на простые сомножители:

  •  , если   свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение   на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
  •  , если   свободно от квадратов и разложение   на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
  •  , если   не свободно от квадратов.

По определению также полагают  .

Свойства и приложенияПравить

  • Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел   и   выполняется равенство  .
  • Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа  , не равного единице, равна нулю
 

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

  •  
  •   где n - положительное целое число.
  •  
  • Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:
 .

Ряд абсолютно сходится при  , на прямой   сходится условно, в области   утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при   ряд заведомо не сходится, даже условно.

При   справедлива также формула:

 
  •   где p — простое число.
 
  • Справедливы асимптотические соотношения:
  при  
 ,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна  , а плотность множества единиц (или минус единиц)  . На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение МёбиусаПравить

Первая формула обращения МёбиусаПравить

Для арифметических функций   и  ,

 

тогда и только тогда, когда

 .

Вторая формула обращения МёбиусаПравить

Для вещественнозначных функций   и  , определённых при  ,

 

тогда и только тогда, когда

 .

Здесь сумма   интерпретируется как  .

Обобщённая функция МёбиусаПравить

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения  . Будем считать, что  .

ОпределениеПравить

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

 

Формула обращенияПравить

Пусть функции g и f принимают вещественные значения на множестве   и выполнено условие  .

Тогда  

Связь с классической функцией МёбиусаПравить

Если взять в качестве   множество натуральных чисел, приняв за отношение   отношение  , то получим  , где   - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что  , и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества  , так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
  • Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

СсылкиПравить