Открыть главное меню

Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества , обозначается или (так как оно соответствует множеству отображений из в ).

Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции для кардиналов) является независимым от ZFC.

В категории множеств можно снабдить функцию структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом:

  • ковариантный функтор отображает функцию в функцию такую, что она отображает в образ относительно ;
  • контравариантный функтор отображает функцию в такую, что она отображает в полный прообраз относительно .

Открытая математическая проблема: cуществуют ли такие бесконечные множества и , что мощность множества меньше мощности множества и мощность множества меньше мощности множества всех подмножеств множества :  ?[1]

Содержание

Мощность конечного булеанаПравить

Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из   элементов, равно  . Результат доказывается методом математической индукции. В базе, у пустого множества  ( ) только одно подмножество — оно само, и  . На шаге индукции утверждение считается установленным для множеств мощности   и рассматривается произвольное множество   с кардинальным числом  ; зафиксировав некоторый элемент  , подмножества множества   разделяются на два семейства:

  1.  , содержащие  ,
  2.  , не содержащие  , то есть являющиеся подмножествами множества  .

Подмножеств второго типа по предположению индукции  , подмножеств первого типа ровно столько же, так как подмножество такого типа получается из некоторого и притом единственного подмножества второго типа добавлением элемента   и, следовательно:

  и  .

По индукционному предположению   и  , то есть:

 .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.