Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Континуум-гипотеза
Краткое имя или название CH, HC и HC
Названо в честь континуум
Первооткрыватель или изобретатель Георг Кантор
Дата открытия (изобретения) 1877
Определяющая формула
Обозначение в формуле , , и
Кем решена Курт Гёдель и Пол Коэн

Если принять аксиому выбора, то континуум-гипотеза равносильна тому, что .

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем была показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).

Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD).[1] При этом утверждение в ней неверно; более того, мощность континуума и в ней несравнимы.[2]

История

править

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга[англ.] доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC[3]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы   имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов   может выполняться равенство  ? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона[англ.].

Эквивалентные формулировки

править

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

  • Прямая   может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел   не выполняется условие  [4].
  • Плоскость   может быть полностью покрыта счётным семейством множеств, каждое из которых имеет вид   (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или   (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)[5].
  • Пространство   можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям  ,   и  , соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось)[6].
  • Пространство   можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка  , что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через  , лишь в конечном числе точек[7].

Вариации и обобщения

править

Обобщённая континуум-гипотеза (GCH) утверждает, что для любого бесконечного кардинала   не существует кардинала между   и  . Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.[8] GCH независима от CH как в ZF, так и в ZFC. GCH в ZF следует из аксиомы конструктивности.

Алеф-гипотезой (AH) называется утверждение, что для любого алефа   выполнено  . Данное утверждение эквивалентно GCH в ZFC, поэтому очень часто именно его называют обобщённой континуум гипотезой. В ZF обобщённая континуум гипотеза в точности эквивалентна AC+AH.[9]

В ZFC обобщённая континуум-гипотеза (а значит и алеф-гипотеза) эквивалентна утверждению, что в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество  , найдётся подмножество, равномощное булеану  [10].

Специальной алеф-гипотезой (AH(0)) называют утверждение  . Это утверждение эквивалентно обычной континуум-гипотезе в ZFC, из-за чего очень часто континуум-гипотезу формулируют именно так. Однако в ZF они неэквивалентны: AH(0) независима от CH в ZF. По этим причинам в ZF часто ошибочно подразумевают под континуум-гипотезой именно специальную алеф-гипотезу. AH(0) влечёт CH. В ZF+AD континуум-гипотеза выполняется, но специальная алеф-гипотеза неверна.

См. также

править

Примечания

править
  1. Пахомов, с. 3.
  2. Jech, 1973, с. 176.
  3. Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.
  4. Stephen Fenner, William Gasar. Statement in Combinatorics that is Independent of ZFC (An Exposition) Архивная копия от 27 ноября 2021 на Wayback Machine (англ.)
  5. Вацлав Серпинский. Cardinal And Ordinal Numbers. — Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1965. (англ.)
  6. Вацлав Серпинский. О теории множеств. — М.: Просвещение, 1966.
  7. Архивированная копия. Дата обращения: 9 июля 2012. Архивировано 18 февраля 2013 года.
  8. Серпинский, 1947, с. 1.
  9. Rubin, 1959, с. 282.
  10. Континуума проблема / А. Г. Драгалин // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература

править
  • Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — Вып. 9. — С. 248—261.
  • Sierpinski W. L'hypothèse généralisée du continu et l'axiome du choix // Fundamenta Mathematicae. — 1947. — Вып. 34. — С. 1—5.
  • Rubin, H. A new form of the generalized continuum hypothesis // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1959. — Вып. 65. — С. 282—284.
  • Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.
  • Фёдор Пахомов. Аксиома детерминированности (2019). Дата обращения: 11 марта 2023.
  • Thomas Jech. The Axiom of Choice (англ.). — North-Holland Publishing Company, 1973. — 202 p.