Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел формулой:

,

где  — функция Мёбиуса. Иными словами,  — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей.

Может быть расширена на все положительные действительные числа следующим образом:

.

Названа в честь Франца Мертенса, предложившего в 1897 году в связи с этой функцией гипотезу Мертенса (позднее отвергнутую).

Свойства

править

Модуль функции не превосходит аргумент:

 .

Нетривиальное доказанное свойство —  [1]. Также установлено, что  , где   — целая часть числа  .

Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта: если  , то при   справедливо тождество:

 , где   — сумматорная функция последовательности  .

В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при  :

  — характеристическое свойство функции Мертенса;
 , где   — вторая функция Чебышёва;
 ;
 , где   — функция Мангольдта;
 , где   — количество делителей числа  .

Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях  [2]:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 …

Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения  , функция Мертенса изменяется медленно: для всех   верно, что  . Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех   абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из  :  . Однако, гипотеза была опровергнута 1985 году Анджеем Одлыжко[англ.] и Германом те Риле[англ.]. Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте  , а именно  . Поскольку наибольшие значения   растут как минимум так же быстро, как и корень из  , это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса (  обозначает O большое).

Первые 160 значений

править
  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
  1 0 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -2 -1 -2 -2 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3
  21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
  -2 -1 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -1 0 0
  41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
  -1 -2 -3 -3 -3 -2 -3 -3 -3 -3 -2 -2 -3 -3 -2 -2 -1 0 -1 -1
  61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
  -2 -1 -1 -1 0 -1 -2 -2 -1 -2 -3 -3 -4 -3 -3 -3 -2 -3 -4 -4
  81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
  -4 -3 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -1 -1 0 1 2 2 1 1 1 1
  101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
  0 -1 -2 -2 -3 -2 -3 -3 -4 -5 -4 -4 -5 -6 -5 -5 -5 -4 -3 -3
  121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
  -3 -2 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -1 -2 -3 -3 -2 -1 -1 -1 -2 -3 -4 -4
  141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
  -3 -2 -1 -1 0 1 1 1 0 0 -1 -1 -1 -2 -1 -1 -2 -1 0 0

Интегральное представление

править

Используя произведение Эйлера можно получить следующее представление:

 ,

где   — это дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым  . Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, получается:

 

где   — замкнутая кривая, окружающая все корни  .

Для обращения используется преобразование Меллина:

 

которое сохраняется при  .

Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни  , получается «точная формула» по теореме о вычетах:

 

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению:

 

где   — функция Хевисайда,   — числа Бернулли, и все производные по   вычисляются при  .

Титчмарш (1960) доказал следующую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме:

 

где   в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а   связаны преобразованием Фурье, так что:

 .

Представление через последовательность Фарея

править

Другая формула для функции Мертенса:

 ,

где   — последовательность Фарея порядка  .

Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля — Ландау[3].

Выражение через определитель

править

  равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка  , в которой   тогда и только тогда, когда   или  .

Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:

 

Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.

Решением системы являются числа   в силу характеристического свойства функции Мертенса:  

При решении системы по правилу Крамера с учётом, что определитель системы равен 1, получается, что  , равный  , равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка  .

Вычисление

править

Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов  :

  • Мертенс (1897) — 104,
  • фон Штернек (1897) — 1,5⋅105,
  • фон Штернек (1901) — 5⋅105,
  • фон Штернек (1912) — 5⋅106,
  • Нойбауэр (1963) — 108,
  • Коэн и Дресс (1979) — 7,8⋅109,
  • Дресс (1993) — 1012,
  • Лиун и ван де Луне (1994) — 1013,
  • Котник и ван де Луне (2003) — 1014

Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих  , может быть вычислена за время  . Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение   за время  .

Приложения

править

В элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказал и использовал тот факт, что из   следует  [1].

Примечания

править
  1. 1 2 А. О. Гельфанд, Ю. В. Линник. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, 1962.
  2. последовательность A028442 в OEIS
  3. Edwards, Ch. 12.2

Литература

править

Ссылки

править