Ряд Дирихле

Рядом Дирихле называется ряд вида

где s и anкомплексные числа, n = 1, 2, 3, … .

Абсциссой сходимости ряда Дирихле называется такое число , что при он сходится; абсциссой абсолютной сходимости называется такое число , что при ряд сходится абсолютно. Для любого ряда Дирихле справедливо соотношение (если и конечны).

Этот ряд играет значительную роль в теории чисел. Наиболее распространённым примером ряда Дирихле является дзета-функция Римана, а также L-функция Дирихле. Ряд назван в честь Густава Дирихле.

Сходимость в разных точкахПравить

Если некоторый ряд сходится в комплексной точке  , то этот же ряд сходится в любой точке  , для которой  . Из этого следует, что существует некоторая точка   такая, что при   ряд сходится, а при   — расходится. Такая точка называется абсциссой сходимости.

Абсциссой абсолютной сходимости для ряда   называется точка   такая, что при   ряд сходится абсолютно. Справедливо утверждение о том, что  .

Поведение функции при   может быть различным. Эдмунд Ландау показал, что точка   является особой для некоторого ряда Дирихле, если   — его абсцисса сходимости.

ПримерыПравить

 

где  дзета-функция Римана.

 

где μ(n) — функция Мёбиуса.

 

где  L-функция Дирихле.

 

где Lis(z) — полилогарифм.

Гармонический ряд

 

расходится.