Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая и определяемая как бесконечный степенной ряд

где s и z — комплексные числа, причём . Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения.

Частным случаем является , при котором . Функции и получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение

Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна.

Частные значенияПравить

 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЛитератураПравить

  • Jahnke, E.; Emde, F. Tables of Functions with Formulae and Curves (англ.). — 4th. — New York: Dover Publications, 1945.
  • Jonquière, A. Note sur la série   (фр.) // Bulletin de la Société Mathématique de France (англ.). — 1889. — Т. 17. — С. 142—152.
  • Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation (англ.) // BIT : journal. — 1970. — Vol. 10. — P. 38—74. — DOI:10.1007/BF01940890.
  • Kirillov, A.N. Dilogarithm identities (англ.) // Progress of Theoretical Physics Supplement (англ.) : journal. — 1995. — Vol. 118. — P. 61—142. — DOI:10.1143/PTPS.118.61. — arXiv:hep-th/9408113.
  • Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions (неопр.). — London: Macdonald, 1958.
  • Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions (неопр.). — New York: North-Holland, 1981. — ISBN 0-444-00550-1.
  • Lewin, L. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (неопр.). — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. — Т. 37. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-1634-9.
  • Markman, B. The Riemann Zeta Function (неопр.) // BIT. — 1965. — Т. 5. — С. 138—141.
  • Maximon, L.C. The Dilogarithm Function for Complex Argument (неопр.) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A. — 2003. — Т. 459, № 2039. — С. 2807—2819. — DOI:10.1098/rspa.2003.1156.
  • McDougall, J.; Stoner, E.C. The computation of Fermi-Dirac functions (неопр.) // Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A. — 1938. — Т. 237, № 773. — С. 67—104. — DOI:10.1098/rsta.1938.0004.
  • Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen (нем.) // Nova Acta Leopoldina. — Halle – Leipzig, Germany: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher, 1909. — Т. XC, № 3. — С. 121—212.
  • Prudnikov, A.P.; Marichev, O.I.; Brychkov, Yu.A. Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions (англ.). — Newark, NJ: Gordon and Breach, 1990. — ISBN 2-88124-682-6. (see § 1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
  • Robinson, J.E. Note on the Bose-Einstein integral functions (неопр.) // Physical Review, Series 2. — 1951. — Т. 83, № 3. — С. 678—679. — DOI:10.1103/PhysRev.83.678.
  • Rogers, L.J. On function sum theorems connected with the series   (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society (2) : journal. — 1907. — Vol. 4, no. 1. — P. 169—189. — DOI:10.1112/plms/s2-4.1.169.
  • Erwin Schrödinger. Statistical Thermodynamics (неопр.). — 2nd. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.
  • Truesdell, C. On a function which occurs in the theory of the structure of polymers (англ.) // Annals of Mathematics, Series 2 : journal. — 1945. — Vol. 46, no. 1. — P. 144—157. — DOI:10.2307/1969153.
  • Vepstas, L. (February 2007), "An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions", arΧiv:math.CA/0702243 [math.CA] 
  • Whittaker, E.T. (англ.); Watson, G.N. (англ.). A Course of Modern Analysis (неопр.). — 4th. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.
  • Wood, D.C. The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92* (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (June 1992). Дата обращения 1 ноября 2005. Архивировано 14 мая 2012 года.
  • Zagier, D. (1989). "The dilogarithm function in geometry and number theory". Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988 12: 231–249, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press.  (also appeared as «The remarkable dilogarithm» in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131–145, and as Chapter I of (Zagier 2007).)
  • Zagier, D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization (англ.) / Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P.. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — P. 3—65. — ISBN 978-3-540-30307-7.

СсылкиПравить