Дилогарифм

Дилогари́фмспециальная функция в математике, которая обозначается и является частным случаем полилогарифма при . Дилогарифм определяется как

Действительная и мнимая части функции

Приведённое определение дилогарифма верно для комплексных значений переменной z. Для действительных значений z=x у этой функции есть разрез вдоль действительной оси от 1 до . Обычно значение функции на разрезе определяется так, что мнимая часть дилогарифма отрицательна:

Функцию часто называют дилогарифмом Эйлера, в честь Леонарда Эйлера, который рассмотрел эту функцию в 1768 году[1]. Иногда дилогарифм называют функцией Спенса (Spence's function) или интегралом Спенса[2] в честь шотландского математика Уильяма Спенса (William Spence, 1777—1815)[3], который в начале XIX века исследовал функции, соответствующие и . Название "дилогарифм" было введено Хиллом (C.J. Hill) в 1828 году.

Функциональные соотношенияПравить

Для дилогарифма существует ряд полезных функциональных соотношений,

 
 
 
 
 
 

Для действительных  ,

 

Известны также соотношения, содержащие две независимые переменные — например, тождество Хилла:

 

Частные значенияПравить

 
 
 
 

Используя соотношение между функциями от x и 1/x, получаем

 

Существует также ряд результатов для аргументов, связанных с золотым сечением  ,

 
 
 
 

а также для дилогарифма мнимого аргумента,

 

где Gпостоянная Каталана.

Соотношения для частных значений

 
 
 
 
 
 

Функции, связанные с дилогарифмомПравить

  • Функция Клаузена  
Возникает при рассмотрении дилогарифма, аргумент которого находится на единичной окружности в комплексной плоскости,
 
Таким образом,
 
  • Функция Лобачевского
Эта функция используется при вычислении объёмов в гиперболической геометрии, и она связана с функцией Клаузена (а следовательно и с дилогарифмом),
 
Иногда используется другое определение функции Лобачевского,
 
  • Интегральный арктангенс  
Возникает при рассмотрении дилогарифма мнимого аргумента,
 
Таким образом,
 
Эта функция выражается через дилогарифмы как
 
В частности,  .

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

  • Leonard Lewin,. Dilogarithms and associated functions. — Macdonald, London, 1958. MR: 0105524
  • Leonard Lewin,. Polylogarithms and associated functions. — North Holland, New York, Oxford, 1981.
  • Don Zagier, The dilogarithm function (PDF)
  • Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.