L-функция Дирихле

L-функция Дирихле $L_{\chi }(s)$ — комплексная функция, заданная при $\operatorname {Re} \,s>0$ (при $\operatorname {Re} \,s>1$ в случае главного характера) формулой

$L_{\chi }(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}$,

где $\chi (n)$ — некоторый числовой характер (по модулю k). $L$-функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства $L_{\chi }(1)\neq 0$ для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций Дирихле

В силу мультипликативности числового характера $\chi$ $L$-функция Дирихле представима в области $\operatorname {Re} \,s>1$ в виде эйлерова произведения по простым числам:

$L_{\chi }(s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}$.

Эта формула обуславливает многочисленные применения $L$-функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функцией

$L$-функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана $\zeta (s)$ формулой

$L_{\chi _{0}}(s)=\zeta (s)\prod _{p|k}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)$.

Эта формула позволяет доопределить $L_{\chi _{0}}(s)$ для области $Re(s)>0$ c простым полюсом в точке $s=1$.

Функциональное уравнение

Аналогично функции Римана, $L$-функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.

Определим $\Lambda (\chi ,s)$ следующим образом: если $\Gamma$ — гамма-функция, $\chi (-1)=1$ — чётный характер, то

$\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)L(\chi ,s)$

Если $\chi (-1)=-1$ — нечётный характер, то

$\Lambda (\chi ,s)=\pi ^{-(s+1)/2}\Gamma ((s+1)/2)L(\chi ,s)$

Пусть также $g(\chi )=\sum \limits _{k=1}^{q}\chi (k)\exp {\frac {2\pi ik}{q}}$ — сумма Гаусса характера $\chi$, а $\varepsilon (\chi )={\frac {g(\chi )}{\sqrt {q}}}$ для чётного $\chi$ и $\varepsilon (\chi )=-i{\frac {g(\chi )}{\sqrt {q}}}$ для нечётного $\chi$. Тогда функциональное уравнение принимает вид:

$\Lambda (\chi ,s)=\varepsilon (\chi )q^{1/2-s}\Lambda ({\bar {\chi }},1-s)$

См. также

• Ряд Дирихле

Литература

• Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
• Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.