L-функция Дирихле

L-функция Дирихле  — комплексная функция, заданная при (при в случае главного характера) формулой

,

где  — некоторый числовой характер (по модулю k). -функции Дирихле были введены для доказательства теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, центральным моментом которого является доказательство неравенства для неглавных характеров.

Произведение Эйлера для L-функций ДирихлеПравить

В силу мультипликативности числового характера    -функция Дирихле представима в области   в виде эйлерова произведения по простым числам:

 .

Эта формула обуславливает многочисленные применения  -функций в теории простых чисел.

Связь с дзета-функциейПравить

 -функция Дирихле, соответствующая главному характеру по модулю k, связана с дзета-функцией Римана   формулой

 .

Эта формула позволяет доопределить   для области   c простым полюсом в точке  .

Функциональное уравнениеПравить

Аналогично функции Римана,  -функция удовлетворяет похожему функциональному уравнению.

Определим   следующим образом: если  гамма-функция,   — чётный характер, то

 

Если   — нечётный характер, то

 

Пусть также  сумма Гаусса характера  , а   для чётного   и   для нечётного  . Тогда функциональное уравнение принимает вид:

 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.