Открыть главное меню

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит:

Пусть — целые числа, и .

Тогда существует бесконечно много простых чисел таких, что .

Из этого следует, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

История доказательствПравить

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремы элементарными методами[1]. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

ВариацииПравить

При рассмотрении простых   довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов, или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах   и  :

 

где суммирование ведётся по всем простым числам   с условием  , а   — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов  , поскольку

 

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимопростых чисел   и   ряд  , где суммирование ведётся по простым  , расходится.

См. такжеПравить

  • Характеры - основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии

ПримечанияПравить

  1. Ю. В. Линник, А. О. Гельфанд. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, 1962.

ЛитератураПравить

Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел.. — М.: Наука, 1986.