Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее:

Пусть — целые числа, и .

Тогда существует бесконечно много простых чисел таких, что .

История доказательств

править

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательства теоремы элементарными методами[1]. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

править

При рассмотрении простых   довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах   и  :

 

где суммирование ведётся по всем простым числам   с условием  , а   — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов  , поскольку

 

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел   и   ряд  , где суммирование ведётся по простым  , расходится.

См. также

править
  • Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии

Примечания

править
  1. Ю. В. Линник, А. О. Гельфанд. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, 1962.

Литература

править

Постников М. М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1986.