Числа Бернулли

Числители и знаменатели дроби чисел Бернулли составляют последовательность A027641 в OEIS и последовательность A027642 в OEIS соответственно;

$B_{0}=1$

$B_{1}=-{\frac {1}{2}}$

$B_{2}={\frac {1}{6}}$

$B_{3}=0$

$B_{4}=-{\frac {1}{30}}$

$B_{5}=0$

$B_{6}={\frac {1}{42}}$

$B_{7}=0$

$B_{8}=-{\frac {1}{30}}$

$B_{9}=0$

$B_{10}={\frac {5}{66}}$

$B_{11}=0$

$B_{12}=-{\frac {691}{2730}}$

$B_{13}=0$

$B_{14}={\frac {7}{6}}$

$B_{15}=0$

$B_{16}=-{\frac {3617}{510}}$

$B_{17}=0$

$B_{18}={\frac {43867}{798}}$

$B_{19}=0$

$B_{20}=-{\frac {174611}{330}}$

$B_{22}={\frac {854513}{138}}$

$B_{24}=-{\frac {236364091}{2730}}$

$B_{26}={\frac {8553103}{6}}$

$B_{28}=-{\frac {23749461029}{870}}$

$B_{30}={\frac {8615841276005}{14322}}$

$B_{32}=-{\frac {7709321041217}{510}}$

$B_{34}={\frac {2577687858367}{6}}$

$B_{36}=-{\frac {26315271553053477373}{1919190}}$

$B_{38}={\frac {2929993913841559}{6}}$

$B_{40}=-{\frac {261082718496449122051}{13530}}$

$B_{42}={\frac {1520097643918070802691}{1806}}$

$B_{44}=-{\frac {27833269579301024235023}{690}}$

$B_{46}={\frac {596451111593912163277961}{282}}$

$B_{48}=-{\frac {5609403368997817686249127547}{46410}}$

$B_{50}={\frac {495057205241079648212477525}{66}}$

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел $B_{0},B_{1},B_{2},\dots$, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

$\sum _{n=0}^{N-1}n^{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{s=0}^{k}{\binom {k+1}{s}}B_{s}N^{k+1-s},$

где ${\tbinom {k+1}{s}}={\tfrac {(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}}$ — биномиальный коэффициент.

Некоторые авторы указывают другие определения, однако в большинстве современных учебников даётся такое же определение, как и здесь. При этом $B_{1}=-{\tfrac {1}{2}}$. Часть авторов (например, трёхтомник Фихтенгольца) использует определение, которое отличается от этого только знаком $B_{k}$. Кроме того, так как за исключением $B_{1}$ все числа Бернулли с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение «$B_{n}$» для $B_{2n}$ или $|B_{2n}|$.

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

$B_{0}=1,$

$B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .$

Свойства

Написана в 1713 году

• Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме $B_{1}$, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
• Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли $B_{n}(x)$ при $x=0$:

$B_{n}=B_{n}(0).$

• Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
  • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

    ${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n},|x|<2\pi ,$

    $x\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi ,$

    $\operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.$

• Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k:

  $B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\,(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.$

А также

$B_{n}=-n\zeta (1-n)$ для всех натуральных n > 1.

• $\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}\,dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .$
• Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:

  $|B_{n}|\sim {\frac {2\cdot n!}{(2\pi )^{n}}}$ при чётных $n\to \infty$. Из формулы, написанной выше, следует равносильность этой асимптотики и равенства: $\lim \limits _{k\to \infty }{\zeta (2k)}=1\;{\text{по}}\;k\in \mathbb {Z}$.

Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана

• Теорема Штаудта-Клаузена утверждает, что $B_{2n}+\sum _{(p-1)|2n}{\frac {1}{p}}\in \mathbb {Z} .$
  • Из неё, в частности, следует, что знаменатель дроби $B_{2n}$ есть произведение простых p таких, что p − 1 делит 2n.

Литература

• Бернуллиевы числа // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Абрамович В. Числа Бернулли // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10—14.

Ссылки

• Генератор Чисел Бернулли