Открыть главное меню

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

где  — биномиальный коэффициент.

Некоторые авторы дают отличные от этого определения. В большинстве современных учебников даётся определение как выше. При этом . Некоторые авторы используют определение, которое отличается от этого только знаком . Кроме того, так как за исключением все числа Бернули с нечётным номером равны 0, некоторые авторы используют обозначение «» для или .

Содержание

Рекуррентная формулаПравить

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

 
 

СвойстваПравить

 
Написана в 1713 году
  • Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме  , равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
  • Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли   при  :
 
  • Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
    • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:
       
       
       
  • Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при чётных s = 2k:
     
А также
  для всех натуральных n > 1.
  •  
  • Порядок роста чисел Бернулли даётся следующей асимптотической формулой:
      при чётных  .
 
Получение чисел Бернулли из дзета-функции Римана

ЛитератураПравить

СсылкиПравить