Открыть главное меню
Многочлены Бернулли

В математике Многочле́ны Берну́лли — многочлены, названные в честь Якоба Бернулли, возникающие при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица, также являются частным случаем последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли замечательны тем, что число корней в интервале не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.

ОпределениеПравить

Многочлены Бернулли   можно определить различными способами. Выбор определения зависит от удобства в том или ином случае.

Явная формулаПравить

 , где   — биномиальные коэффициенты,   — числа Бернулли.

Или

 

Производящая функцияПравить

Производящей функцией для многочленов Бернулли является

 

Представление дифференциальным операторомПравить

 , где  оператор формального дифференцирования.

Явное выражение для небольших степенейПравить

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

 
 
 
 
 
 
 

СвойстваПравить

Начальные значенияПравить

начальные значения многочленов Бернулли при   равны соответствующим числам Бернулли:

 .

Дифференцирование и интегрированиеПравить

Вычисляя производную от производящей функции:

 .

Левая часть отличается от производящей функции только множителем  , поэтому

 .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  , получаем:

 , откуда
 . (функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

 .

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

  (при   )

Теорема об умножении аргументаПравить

Пусть m — произвольное натуральное число, тогда

 

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

 .

СимметрияПравить

 
 

СсылкиПравить