Многочлены Бернулли — последовательность многочленов, возникающая при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица; частный случай последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли примечательны тем, что число корней в интервале не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a6/%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8.png/220px-%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D0%BA_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D0%B2_%D0%91%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%83%D0%BB%D0%BB%D0%B8.png)
Названны в честь Якоба Бернулли.
Определения
правитьМногочлены Бернулли можно определить различными способами в зависимости от удобства.
Явное задание:
- ,
где — биномиальные коэффициенты, — числа Бернулли, или:
Производящей функцией для многочленов Бернулли является:
Можно представить многочлены Бернулли дифференциальным оператором:
Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:
Свойства
правитьНачальные значения многочленов Бернулли при равны соответствующим числам Бернулли:
- .
Производная от производящей функции:
- .
Левая часть отличается от производящей функции только множителем , поэтому:
- .
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :
- ,
откуда:
- .
(Функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).
Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:
- .
Также бывает полезно свойство сбалансированности:
- (при )
Теорема об умножении аргумента: если — произвольное натуральное число, то:
Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:
- .
Симметрия:
Ссылки
правитьЭто заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
Для улучшения этой статьи по математике желательно:
|