Метод Крамера

(перенаправлено с «Правило Крамера»)

Ме́тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)[1].

Описание метода править

Для системы   линейных уравнений с   неизвестными (над произвольным полем)

 

с определителем матрицы системы  , отличным от нуля, решение записывается в виде

 

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c1, c2, …, cn справедливо равенство:

 

В такой форме метод Крамера справедлив без предположения, что   отличен от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы   и  , либо набор   состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример править

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

 


Определители:

 
 

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

 

Пример:

 

Определители:

 
 

 

Вычислительная сложность править

Метод Крамера требует вычисления   определителей порядка  . При использовании метода Гаусса для вычисления определителей метод имеет сложность по элементарным операциям сложения-умножения порядка  , что сложнее, чем метод Гаусса при прямом решении системы. Поэтому метод, с точки зрения затрат времени на вычисления, считался непрактичным. Однако в 2010 году было показано, что метод Крамера может быть реализован со сложностью  , сравнимой со сложностью метода Гаусса[2].

Литература править

  • Мальцев И. А. Основы линейной алгебры. — Изд. 3-е, перераб., М.: «Наука», 1970. — 400 c.

Примечания править

  1. Cramer, Gabriel. Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques (фр.) 656–659. Geneva: Europeana (1750). Дата обращения: 18 мая 2012.
  2. Ken Habgood and Itamar Arel. 2010. Revisiting Cramer's rule for solving dense linear systems. In Proceedings of the 2010 Spring Simulation Multiconference (SpringSim '10)

См. также править