Лемма Накаямы

Лемма Накаямы — важная техническая лемма в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, следствие правила Крамера. Названа именем Тадаси Накаямы.

ФормулировкиПравить

Она имеет множество эквивалентных формулировок. Вот одна из них:

Пусть R — коммутативное кольцо с единицей 1, Iидеал в R, а Mконечнопорождённый модуль над кольцом R. Если IM = M, тогда существует a ∈ I такой, что для всякого m ∈ M am = m.

Доказательство леммы. Пусть   — образующие модуля M. Так как M = IM, каждый из них представим в виде

 , где   — элементы идеала I. То есть  .

Из формулы Крамера для этой системы следует, что при всяком j

 .

Так как   представим в виде 1 − a, a из I, лемма доказана.

Следующее следствие из доказанного утверждения также известно как лемма Накаямы:

Следствие 1: Если в условиях леммы идеал I обладает свойством, что для каждого его элемента a элемент 1 − a обратим (например, это так, если I содержится в радикале Джекобсона), необходимо должно быть M = 0.

Доказательство. Существует элемент a идеала I, такой что aM = M, следовательно, (1 − a)M = 0, домножая слева на элемент, обратный к 1 − a, получаем, что M = 0.

Применение к модулям над локальными кольцамиПравить

Пусть Rлокальное кольцо,   — максимальный идеал в R, Mконечнопорождённый R-модуль, и   — гомоморфизм факторизации. Лемма Накаямы даёт удобное средство для перехода от модуля M над локальным кольцом R к фактормодулю  , которое есть конечномерное векторное пространство над полем  . Следующее утверждение также считается одной из форм леммы Накаямы, применительно к этому случаю:

Элементы   порождают модуль M тогда и только тогда, когда их образы   порождают фактормодуль  .

Доказательство. Пусть S — подмодуль в M, порождённый элементами  , Q = M/S — фактормодуль и   — гомоморфизм факторизации. Так как   порождают фактормодуль  , это означает, что для всякого   существует  , такой что  . Тогда  . Поскольку   сюръективно, это означает, что  . По лемме Накаямы (точнее, согласно Следствию 1) Q=0, то есть S=M.

Имеется ещё один вариант леммы Накаямы для модулей над локальными кольцами:

Пусть   — гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей. Он индуцирует гомоморфизм фактормодулей  . Эти гомоморфизмы сюръективны или не сюръективны одновременно.

На основе этой формы леммы Накаямы выводится следующая важная теорема:

Всякий (конечнопорождённый) проективный модуль над локальным кольцом свободен.

ЛитератураПравить

  • М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

См. такжеПравить