Проективный модуль

Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

Определение

Модуль $P$ над кольцом $A$ (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма $g\colon P\to M$ и эпиморфизма $f\colon N\to M$ существует такой гомоморфизм $h\colon P\to N$, что $g=fh$, то есть данная диаграмма коммутативна:

Диаграмма для проективного модуля

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль $F$. В самом деле, пусть $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots$ — элементы базиса модуля $F$ и $g(x_{i})=y_{i}$. Поскольку $f$ — эпиморфизм, можно найти такие $z_{i}$, что $f(z_{i})=y_{i}$. Тогда $h$ можно определить, задав его значения на векторах базиса как $h(x_{i})=z_{i}$.

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль $P$ проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль $K$, что прямая сумма $F=P\oplus K$ свободна. В самом деле, если $P$ есть компонента прямой суммы $F$, которая является свободным модулем, и $g\colon P\to M$ — гомоморфизм, то $gp_{1}\colon F\to M$ тоже гомоморфизм ($p_{1}$ — проекция прямой суммы $F$ на первое слагаемое $P$), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм $h_{1}\colon F\to N$, такой, что $gp_{1}=fh_{1}$, отсюда $gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1}$, где $i_{1}$ — гомоморфизм включения $P\to F$, отсюда

$g=fh_{1}i_{1}\colon P\to M$

Обратно, пусть $P$ — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть $g\colon F\to P$ — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм $id\colon P\to P$ будет равен $id=gh$ для некоторого $h\colon P\to F$, так как $P$ проективен. Любой элемент $F$ тогда представим в виде

$x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g$,

где $\mathrm {Im} \,h$ изоморфно $P$.

Свойства

• $P$ проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма $f\colon N\to M$ индуцированный гомоморфизм $f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)$ является эпиморфизмом.
• $P$ проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность $0\to A\to B\to C\to 0$ в точную последовательность $0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0$.
• Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

См. также

• Инъективный модуль
• Резольвента (гомологическая алгебра)

Литература

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966..