Проективный модуль

Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

ОпределениеПравить

Модуль   над кольцом   (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма   и эпиморфизма   существует такой гомоморфизм  , что  , то есть данная диаграмма коммутативна:

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль  . В самом деле, пусть   — элементы базиса модуля   и  . Поскольку   — эпиморфизм, можно найти такие  , что  . Тогда   можно определить, задав его значения на векторах базиса как  .

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль   проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль  , что прямая сумма   свободна. В самом деле, если   есть компонента прямой суммы  , которая является свободным модулем, и   — гомоморфизм, то   тоже гомоморфизм (  — проекция прямой суммы   на первое слагаемое  ), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм  , такой, что  , отсюда  , где   — гомоморфизм включения  , отсюда

 

Обратно, пусть   — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть   — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм   будет равен   для некоторого  , так как   проективен. Любой элемент   тогда представим в виде

 ,

где   изоморфно  .

СвойстваПравить

  •   проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма   индуцированный гомоморфизм   является эпиморфизмом.
  •   проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность   в точную последовательность  .
  • Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960
  • Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966..