Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Определение править

Пусть   — векторное пространство над полем   (или, более обще, над телом  ), а   — его полная линейная группа, то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями   пространства   (умножениями на ненулевые константы поля  ), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства   (факторпространство по действию группы  ).

Некоторые из этих индуцированных преобразований действуют на   тривиально — это в точности элементы группы гомотетий   пространства  . Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:

 .

Если в пространстве   явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм   для натурального  , получится

 ,

то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.

Обобщения править

Если вместо полной линейной группы   взять специальную линейную группу  , то есть ограничиться линейными преобразованиями с определителем 1, то получится проективная специальная линейная группа  , также называемая унимодулярной проективной группой.

Свойства править

  • Если   — конечное поле из   элементов, то порядок группы равен  [1].
  • При   группа   проста, за исключением случаев   и  [1].

Примечания править

  1. 1 2 Vinberg, E.B. (2001), "Projective group", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4