Факторгруппа

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

ОпределениеПравить

Пусть   — группа,   — её нормальная подгруппа и   — произвольный элемент. Тогда на классах смежности   в  

 

можно ввести умножение:

 

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если   и  , то  . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа   называется факторгруппой   по  .

СвойстваПравить

Гомоморфный образ группы
До победы коммунизма
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма.

  • Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма  
 ,
то есть факторгруппа   по ядру   изоморфна её образу   в  .

ПримерыПравить

  • Пусть  ,  , тогда   изоморфна  .
  • Пусть   (группа невырожденных верхнетреугольных матриц),   (группа верхних унитреугольных матриц), тогда   изоморфна группе диагональных матриц.
  • Пусть   (Симметрическая группа),   (Четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда   изоморфна  .
  • Пусть   (Симметрическая группа),   (Знакопеременная группа), тогда   изоморфна  .
  • Пусть   (Группа кватернионов),  (Циклическая группа, состоящая из 1, -1), тогда   изоморфна  .

Вариации и обобщенияПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.