В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : GH, такая, что для всех u и v из G выполняется

Гомоморфизм группы (h) из G (слева) в H (справа). Меньший овал внутри H — образ h. N является ядром h, а aN является смежным классом N.

где групповая операция слева от знака «=» относится к группе G, а операция справа относится к группе H.

Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент eG группы G в нейтральный элемент eH группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что

Таким образом, можно сказать, что h «сохраняет групповую структуру».

В более ранних работах h(x) могло обозначаться как xh, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.

В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.

Понятие править

Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : GH является гомоморфизмом группы, если из ab = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.

Образ и ядро править

Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H

 

и образ h как

 

Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:

 

Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {eG}.

Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен факторгруппе G/ker h.

Примеры править

  • Возьмём циклическую группу   и группу целых чисел   по сложению. Отображение   с   является гомоморфизмом. Оно сюръективно, и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.
  • Возьмём группу
 
Для любого комплексного числа   функция  , определённая как:
 
является гомоморфизмом.
  • Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения  . Для любого комплексного числа   функция  , определённая как
 
является гомоморфизмом.
  • Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чисел   по сложению в группу ненулевых вещественных чисел   по умножению. Ядром является множество  , а образ состоит из вещественных положительных чисел.
  • Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел   по сложению в группу ненулевых комплексных чисел   по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество  , как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные   и  , имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют экспоненциальными полями[англ.].

Категории групп править

Если h : GH и k : HK являются гомоморфизмами групп, то и k o h : GK тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.

Виды гомоморфных отображений править

Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если h: GG является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен Z/2Z.

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.

Гомоморфизмы абелевых групп править

Групповая структура править

Если группа   — абелева, то множество   всех гомоморфизмов из группы   в группу   само является абелевой группой относительно следующей бинарной операции поэлементного сложения, обозначаемой символом  : для двух гомоморфизмов   и   гомоморфизм   определяется формулой

 

где  .

Структура кольца править

Относительно указанной выше операции операция композиции является дистрибутивной. А именно, для любых гомоморфизмов  ,   и   выполняются следующие равенства:

 

В частности, множество   всех эндоморфизмов абелевой группы   образует кольцо, в котором аналогом сложения является вышеописанная операция, а умножения — композиция. Оно называется кольцом эндоморфизмов группы  .

Например,   и  . Кроме того, для любой абелевой группы   кольцо эндоморфизмов прямого произведения   изоморфно кольцу матриц   с элементами из группы  :

 

Упомянутая выше дистрибутивность также показывает, что категория всех абелевых групп и их гомоморфизмов образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.

См. также править

Ссылки править

  • D. S. Dummit, R. Foote. Abstract Algebra. — 3. — Wiley, 2004. — С. 71-72. — ISBN 9780471433347.
  • Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968.