Открыть главное меню

Ядро в алгебре — характеристика отображения , обозначаемая , отражающая отличие от инъективного отображения, обычно — множество прообразов некоторого фиксированного (нулевого, единичного, нейтрального) элемента . Конкретное определение может различаться, однако для инъективного отображения множество всегда должно быть тривиально, то есть состоять из одного элемента (как правило, того самого элемента ).

Если множества и обладают некоторой структурой (например, являются группами или векторными пространствами), то также должно обладать этой структурой, при этом различные формулировки основной теоремы о гомоморфизме связывают образ и фактормножество .

Ядро линейного отображенияПравить

Ядром линейного отображения   называется прообраз нулевого элемента пространства  :

 

  является подпространством в  . Оно всегда содержит нулевой элемент пространства  . Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ   изоморфен фактору пространства   по ядру  :

 

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность   конечна:

 

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

 

Всякий базис ядра называется фундаментальной системой решений.

Теория матрицПравить

Любую прямоугольную матрицу   размера  , содержащую элементы поля   (в частности, вещественные числа), можно рассматривать как линейный оператор   умножения векторов слева на матрицу:

 

Таким образом, результаты теории конечномерных линейных пространств целиком переносятся на работу с матрицами. В частности, систему линейных уравнений с   неизвестными

 

можно рассматривать как задачу поиска прообраза вектора  , а задача о решении однородной системы уравнений ( ) сводится к поиску ядра отображения  .

ПримерПравить

Пусть   будет линейным отображением   и:

 

Тогда его ядро является векторным подпространством:

 

Гомоморфизм группПравить

Если   — гомоморфизм между группами, то   образует нормальную подгруппу  .

Гомоморфизм колецПравить

Если   — гомоморфизм между кольцами, то   образует идеал кольца  .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — Москва: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.