Единичный круг
Единичный круг — круг радиуса 1 на евклидовой плоскости (рассматриваемый обычно на комплексной плоскости); «идиоматическая» область в комплексном анализе.
Определение
правитьЕдиничный круг — открытое подмножество комплексной плоскости, задаваемое неравенством
- или (что то же самое), .
В действительных координатах неравенство выглядит как:
- .
Круг связен и односвязен (например, в силу выпуклости). Границей единичного круга является единичная окружность.
Единичный круг обычно обозначается как или .
Автоморфизмы единичного круга
правитьС точки зрения конформных отображений, автоморфизмы единичного круга составляют 3-мерную группу Ли, состоящую из дробно-линейных отображений специального вида:
Две степени свободы b обеспечиваются возможностью отобразить 0 (центр) в произвольную точку круга, а одна ( ) — поворотами.
С точки зрения евклидовой геометрии, разумеется, кроме поворотов у круга автоморфизмов (движений) нет.
Модель Пуанкаре
правитьОказывается, что конформные автоморфизмы круга можно рассматривать и как метрические, но если рассмотреть на круге особую (неевклидову) метрику — метрику Пуанкаре:
Круг оказывается, таким образом, моделью плоскости Лобачевского.
Круг или полуплоскость?
правитьС точки зрения комплексного анализа, в принципе, нет разницы, которую из односвязных областей на плоскости рассматривать — по теореме Римана они все эквивалентны (кроме самой плоскости). Чаще всего используют единичный круг и верхнюю полуплоскость. И единичный круг, и полуплоскость можно рассматривать как половинки сферы Римана, разрезанной большой окружностью.
Однако, для исследований связанных со степенными рядами удобнее рассматривать именно круги (см. круг сходимости).
Другие значения
правитьВ принципе, «единичным кругом» можно назвать круг единичного радиуса с центром не обязательно в нуле (начале координат), и не на евклидовой плоскости.
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |