Граница (топология)

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение

Пусть дано топологическое пространство $(X,{\mathcal {T}})$, где $X$ — произвольное множество, а ${\mathcal {T}}$ — определённая на $X$ топология. Пусть $A\subset X.$ Точка $x_{0}\in X$ называется грани́чной то́чкой мно́жества $A$, если для любой её окрестности $U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}$ справедливо:

$U\cap A\neq \varnothing ,\;U\cap A^{\complement }\neq \varnothing .$

Множество всех граничных точек множества $A$ называется границей множества $A$ или границей множества $A$ в $X$ и обозначается $\partial A$ или $\partial _{X}A$ если необходимо подчеркнуть, что $A$ рассматривается как подмножество объемлющего пространства $X$.

Свойства

• $\partial A=\partial \left(A^{\complement }\right);$
• $\partial A={\bar {A}}\setminus A^{\circ };$
• $\partial A$ — замкнутое множество;
• $A$ — открытое множество тогда и только тогда, когда $A\cap \partial A=\emptyset ;$
• $A$ — замкнутое множество тогда и только тогда, когда $\partial A\subset A;$
• $A$ — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда $\partial A=\emptyset ;$
• $\partial \partial A\subset \partial A$, причем равенство $\partial \partial A=\partial A$ достигается тогда и только тогда, когда $(\partial A)^{\circ }=\emptyset ;$
• $\partial \partial \partial A=\partial \partial A.$

Примеры

Рассмотрим числовую прямую $\mathbb {R}$ со стандартной топологией. Тогда: для $-\infty <a<b<+\infty$:

• Для $-\infty <a<b<+\infty$: $\partial (a,b)=\partial (a,b]=\partial [a,b)=\partial [a,b]=\{a,b\};$
• $\partial \mathbb {R} =\varnothing ;$
• $\partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} .$

См. также

• Край многообразия
• Замыкание (топология)