Открыть главное меню
Выпуклое множество.
Невыпуклое множество.

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Содержание

ОпределенияПравить

Пусть   — аффинное или векторное пространство над полем вещественных чисел  .

Множество   называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками   множеству   принадлежат все точки отрезка  , соединяющего в пространстве   точки   и  . Этот отрезок можно представить как

 

Связанные определенияПравить

Множество   векторного пространства   называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

ПримерыПравить

СвойстваПравить

  • Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
  • В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
  • Пусть   — выпуклое множество в линейном пространстве. Тогда для любых элементов   принадлежащих   и для всех неотрицательных  , таких что  , вектор
     
принадлежит  .
  • Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку[неизвестный термин]. Из этого следует, что для любого подмножества   линейного пространства существует наименьшее выпуклое множество его содержащее. Это множество является пересечением всех выпуклых множеств содержащих   и называется выпуклой оболочкой множества  .
  • Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества   и точки  , не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство  , содержащее   и не содержащее  . Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.
  • Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств  , пересечение любых   из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
  • Любое выпуклое множество единичной площади в   можно целиком заключить в некоторый треугольник площади 2[1].

Вариации и обобщенияПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

СсылкиПравить

  1. Weisstein, Eric W. Triangle Circumscribing (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.