Вещественнозначная функция

Вещественнозначная функция — функция, значениями которой являются вещественные числа. Другими словами, это функция, которая назначает вещественное число каждому элементу области определения функции.

Вещественнозначные функции вещественной переменной^[англ.] (обычно называемые вещественными функциями) и вещественнозначные функции нескольких вещественных переменных^[англ.] являются основным объектом изучения в математическом анализе и, более конкретно, в теории функций вещественной переменной. В частности, многие функциональные пространства^[англ.] состоят из вещественнозначных функций.

Алгебраическая структура

Пусть ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ обозначает множество всех функций, отображающих множество X в вещественные числа $\mathbb {R}$ . Поскольку $\mathbb {R}$ является полем, ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ может быть превращено в векторное пространство с коммутативной алгеброй со следующими операциями:

$f+g:x\mapsto f(x)+g(x)$ — сложение векторов
$\mathbf {0} :x\mapsto 0$ — нулевой элемент
$cf:x\mapsto cf(x),\quad c\in \mathbb {R}$ – скаляр
$fg:x\mapsto f(x)g(x)$ — поточечное умножение.

Эти операции распространяются на частично определённые функции^[англ.] из X в $\mathbb {R} ,$ с ограничением, что частично определённые функции $f+g$ и $fg$ определены только в случае, когда области определения f и g имеют непустое пересечение. В этом случае областью определения этих функций служит пересечение областей определения f и g.

Также, поскольку $\mathbb {R}$ является упорядоченным множеством, имеется частичное упорядочение:

\ f\leqslant g\quad \iff \quad \forall x:f(x)\leqslant g(x)

в ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ , что делает ${\mathcal {F}}(X,{\mathbb {R} })$ частично упорядоченным кольцом.

Измеримость

$\sigma$ -алгебра борелевских множеств является важной структурой на вещественных числах. Если X имеет $\sigma$ -алгебру и функция f такова, что прообраз f ⁻¹(B) любого борелевского множества B принадлежит этой $\sigma$ -алгебре, то говорят, что функция f измеримая. Измеримые функции образуют также векторное пространство с алгеброй, описанной выше.

Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на X можно, фактически, определить как $\sigma$ -алгебру на X как и все прообразы борелевских множеств (или только промежутков, что не столь существенно). Это способ, которым $\sigma$ -алгебры появляются в теории вероятностей (колмоггоровской), где вещественнозначные функции на пространстве элементарных событий Ω являются вещественнозначными случайными величинами.

Непрерывность

Вещественные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство. Непрерывные вещественнозначные функции (с предположением, что X является топологическим пространством) имеют важное значение в теориях топологических пространств и метрических пространств. Теорема об экстремальных значениях утверждает, что любая вещественная непрерывная функция на компактном пространстве имеет максимум или минимум.

Концепция метрического пространства сама по себе определяется с вещественнозначной функцией от двух переменных, непрерывной метрики. Пространство непрерывных функций на компактном хаусдорховом пространстве^[англ.] имеет особое значение. Пределы последовательностей можно также рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции образуют также векторное пространство с алгеброй, представленной выше, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет $\sigma$ -алгебру, образованную открытыми (или замкнутыми) множествами.

Гладкость

Вещественные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Область определения вещественной гладкой функции может быть: вещественным координатным пространством (что даёт функции нескольких вещественных переменных^[англ.]), топологическим векторным пространством,^[1] его открытым подмножеством, или гладким многообразием.

Пространства гладких функций являются также векторными пространствами с алгебрами, описанными выше, и являются подклассами непрерывных функций.

В теории меры

Мера множества — это неотрицательный вещественнозначный функционал на $\sigma$ -алгебре подмножеств^[2]. $\mathrm {L} ^{p}$ пространства на множествах с мерой определяются из упомянутых выше вещественнозначных измеримых функций, хотя они, на самом деле, являются факторпространствами. Более точно: принимая в внимание, что функция, удовлетворяющая подходящим условиям суммируемости, определяет элемент пространства $\mathrm {L} ^{p}$ . В обратном направлении: для любой функции $f\in \mathrm {L} (X)$ и точки $x\in X$ , не являющейся атомом, значение f(x) не определено^[англ.]. Однако, вещественнозначные $\mathrm {L} ^{p}$ пространства по-прежнему имеют некоторые из структур, описанных выше. Каждое из $\mathrm {L} ^{p}$ пространств является векторным пространством, имеет частичный порядок и существует поточечное умножение «функций», которое меняет p, а именно:

\cdot :L^{1/\alpha }\times L^{1/\beta }\to L^{1/(\alpha +\beta )},\quad 0\leqslant \alpha ,\beta \leqslant 1,\quad \alpha +\beta \leqslant 1~.

Например, поточечное произведение двух L² функций принадлежит L¹.

Другие приложения

Другие контексты, где используются вещественнозначные функции и их свойства: монотонные функции (на упорядоченных множествах), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях), аналитические функции (обычно от одной и более вещественных переменных), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях) и многочлены (от одной и более переменных).

См. также

Теория функций вещественной переменной
Дифференциальные уравнения в частных производных — область, в которой часто используются вещественнозначные функции
Норма (математика)
Скаляр

Примечания

↑ Существует другое определение производной в общем случае, но для конечных размерностей оно приводит к эквивалентному определению классов гладких функций.
↑ Фактически, мера может иметь значения в $[0,+\infty ]$ : см. Расширенная числовая прямая.

Литература

Apostol, Tom M. Mathematical Analysis. — 2nd. — Addison–Wesley, 1974. — ISBN 978-0-201-00288-1.
Gerald Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1999. — ISBN 0-471-31716-0.
Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. — 3rd. — New York: McGraw-Hill, 1976. — ISBN 978-0-07-054235-8.
- Рудин У. Основы математического анализа / Перевод В. П. Хавина. — второе. — Москва: «Мир», 1976.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Real Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[1] Существует другое определение производной в общем случае, но для конечных размерностей оно приводит к эквивалентному определению классов гладких функций.

[2] Фактически, мера может иметь значения в $[0,+\infty ]$ : см. Расширенная числовая прямая.

[1]

[2]