Вещественнозначная функция

Вещественнозначная функцияфункция, значениями которой являются вещественные числа. Другими словами, это функция, которая назначает вещественное число каждому элементу области определения функции.

Масса, измеренная в граммах, является функцией от такого набора гирь с положительнымм вещественными числами. Термин «весовая функция», являющийся косвенным указанием на этот пример, используется в чистой и прикладной математике.

Вещественнозначные функции вещественной переменной[en] (обычно называемые вещественными функциями) и вещественнозначные функции нескольких вещественных переменных[en] являются основным объектом изучения в математическом анализе и, более конкретно, в теории функций вещественной переменной. В частности, многие функциональные пространства[en] состоят из вещественнозначных функций.

Алгебраическая структураПравить

Пусть   обозначает множество всех функций, отображающих множество X в вещественные числа  . Поскольку   является полем,   может быть превращено в векторное пространство с коммутативной алгеброй со следующими операциями:

Эти операции распространяются на частично определённые функции[en] из X в   с ограничением, что частично определённые функции   и   определены только в случае, когда области определения f и g имеют непустое пересечение. В этом случае областью определения этих функций служит пересечение областей определения f и g.

Также, поскольку   является упорядоченным множеством, имеется частичное упорядочение:

 

в  , что делает   частично упорядоченным кольцом.

ИзмеримостьПравить

 -алгебра борелевских множеств является важной структурой на вещественных числах. Если X имеет  -алгебру и функция f такова, что прообраз f−1(B) любого борелевского множества B принадлежит этой  -алгебре, то говорят, что функция f измеримая. Измеримые функции образуют также векторное пространство с алгеброй, описанной выше.

Более того, множество (семейство) вещественнозначных функций на X можно, фактически, определить как  -алгебру на X как и все прообразы борелевских множеств (или только промежутков, что не столь существенно). Это способ, которым  -алгебры появляются в теории вероятностей (колмоггоровской), где вещественнозначные функции на пространстве элементарных событий Ω являются вещественнозначными случайными величинами.

НепрерывностьПравить

Вещественные числа образуют топологическое пространство и полное метрическое пространство. Непрерывные вещественнозначные функции (с предположением, что X является топологическим пространством) имеют важное значение в теориях топологических пространств и метрических пространств. Теорема об экстремальных значениях утверждает, что любая вещественная непрерывная функция на компактном пространстве имеет максимум или минимум.

Концепция метрического пространства сама по себе определяется с вещественнозначной функцией от двух переменных, непрерывной метрики. Пространство непрерывных функций на компактном хаусдорховом пространстве[en] имеет особое значение. Пределы последовательностей можно также рассматривать как вещественнозначные непрерывные функции на специальном топологическом пространстве.

Непрерывные функции образуют также векторное пространство с алгеброй, представленной выше, и являются подклассом измеримых функций, поскольку любое топологическое пространство имеет  -алгебру, образованную открытыми (или замкнутыми) множествами.

ГладкостьПравить

Вещественные числа используются в качестве кодомена для определения гладких функций. Область определения вещественной гладкой функции может быть: вещественным координатным пространством (что даёт функции нескольких вещественных переменных[en]), топологическим векторным пространством,[1] его открытым подмножеством, или гладким многообразием.

Пространства гладких функций являются также векторными пространствами с алгебрами, описанными выше, и являются подклассами непрерывных функций.

В теории мерыПравить

Мера множества — это неотрицательный вещественнозначный функционал на  -алгебре подмножеств[2].   пространства на множествах с мерой определяются из упомянутых выше вещественнозначных измеримых функций, хотя они, на самом деле, являются факторпространствами. Более точно: принимая в внимание, что функция, удовлетворяющая подходящим условиям суммируемости, определяет элемент пространства  . В обратном направлении: для любой функции   и точки  , не являющейся атомом, значение f(x) не определено[en]. Однако, вещественнозначные   пространства по-прежнему имеют некоторые из структур, описанных выше. Каждое из   пространств является векторным пространством, имеет частичный порядок и существует поточечное умножение «функций», которое меняет p, а именно:

 

Например, поточечное произведение двух L2 функций принадлежит L1.

Другие приложенияПравить

Другие контексты, где используются вещественнозначные функции и их свойства: монотонные функции (на упорядоченных множествах), выпуклые функции (на векторных и аффинных пространствах), гармонические и субгармонические функции (на римановых многообразиях), аналитические функции (обычно от одной и более вещественных переменных), алгебраические функции (на вещественных алгебраических многообразиях) и многочлены (от одной и более переменных).

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Существует другое определение производной в общем случае, но для конечных размерностей оно приводит к эквивалентному определению классов гладких функций.
  2. Фактически, мера может иметь значения в  : см. Расширенная числовая прямая.

ЛитератураПравить

  • Apostol, Tom M. Mathematical Analysis. — 2nd. — Addison–Wesley, 1974. — ISBN 978-0-201-00288-1.
  • Gerald Folland. Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1999. — ISBN 0-471-31716-0.
  • Walter Rudin. Principles of Mathematical Analysis. — 3rd. — New York: McGraw-Hill, 1976. — ISBN 978-0-07-054235-8.
    • Рудин У. Основы математического анализа / Перевод В. П. Хавина. — второе. — Москва: «Мир», 1976.

СсылкиПравить

Weisstein, Eric W. Real Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.