Расширенная числовая прямая

Эта статья о числовой прямой, расширенной двумя знаковыми бесконечностями; о числовой прямой, расширенной одной беззнаковой бесконечностью, см. Проективно расширенная числовая прямая.

Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть . Следует понимать, что не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы и считаются неравными друг другу.

При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства . В некоторых дидактических материалах термин "расширенная числовая прямая" используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой,[1] не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.

УпорядоченностьПравить

Множество вещественных чисел   линейно упорядоченно по отношению  . Однако в   нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы   как раз состоит в добавлении максимального ( ) и минимального ( ) элементов.

Благодаря этому в системе   всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и  , если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов   и  .

СвойстваПравить

Для вещественных чисел и элементов   определены следующие действия:[2]

 

Выражения   считаются неопределёнными. Однако в теории вероятностей и в теории мер второе выражение может приниматься как 0[3].

В проективно расширенной числовой прямой числа типа   равны элементу  , однако в аффинно расширенной эти числа не имеют смысла, так как не имеют определённого знака. Если включать как положительные, так и отрицательные расширенные числа, то, несмотря на то, что для любой ненулевой последовательности чисел   стремящейся к 0, последовательность   в конечном итоге будет оказываться во всякой окрестности, окружающей множество   сама последовательность не сможет одновременно стремиться к   и   так как  

Также арифметические операции в   обладает свойствами, схожими с  :

  •   и   либо равны, либо оба не имеют смысл;
  •   и   либо равны, либо оба не имеют смысл;
  •   и   равны либо оба не имеют смысл;
  •   и   равны либо оба не имеют смысл;
  •   и   равны либо оба не имеют смысл;
  • если   и при этом   и   имеют смысл, то  
  • если   а   и   имеют смысл, то  

Вообще говоря, все арифметические законы вещественных чисел правомерны на   — с тем лишь ограничением, что некоторые выражения могут быть неопределены.

Топология расширенной числовой прямойПравить

Открытые множества и окрестностиПравить

Отношение порядка   порождает топологию   на  . В топологии   открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов:

 

где  .

Окрестностью   точки   называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии  , всякая окрестность точки   включает один из интервалов указанного вида, содержащий  .

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие  -окрестности   точки расширенной числовой прямой ( ).

В случае  , то есть когда   является числом,  -окрестностью   называется множество:

 

Если же  , то:

 

а если  , то:

 

Понятие  -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда   является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа   соответствующие окрестности уменьшаются:  .

ПределыПравить

В   все специальные разновидности пределов укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть  , где  . В частности,   может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть  . Тогда:

 

КомпактностьПравить

  — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел   является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел   может рассматриваться как двухточечная компактификация  . При этом   оказывается гомеоформным отрезку  . Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм   задаётся формулой:

 .

См. такжеПравить

Проективно расширенная числовая прямая

ПримечанияПравить

  1. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — 3-е изд. перераб.. — М.: Физматлит, 2005. — Т. 1. — С. 19. — 400 с. — ISBN 5-9221-0184-6.
  2. Eric W. Weisstein. Affinely Extended Real Numbers (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 5 мая 2021.
  3. extended real number in nLab. ncatlab.org. Дата обращения: 5 мая 2021.

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд. — М.: Физматлит, 2004. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.
  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.