Расширенная числовая прямая

Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел , дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: (положительная бесконечность) и (отрицательная бесконечность), то есть . Следует понимать, что не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено отношение порядка. Также сами элементы и считаются неравными друг другу.[1]

При этом для любого вещественного числа по определению полагают выполненными неравенства . В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой, не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.[2]

Знак плюс для элемента часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как .

ПорядокПравить

Множество вещественных чисел   линейно упорядоченно по отношению  . Однако в   нет максимального и минимального элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы   как раз состоит в добавлении максимального ( ) и минимального ( ) элементов.

Благодаря этому в системе   всякое непустое множество имеет точную верхнюю грань (конечную, если множество ограничено сверху, и  , если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для точной нижней грани. Этим объясняется удобство введения элементов   и  .[3][4]

В расширенной числовой прямой существует 3 вида промежутков: интервал, полуинтервал и отрезок.

  — интервал
 ,   — полуинтервал
  — отрезок

Так как бесконечности здесь такие же равноправные элементы как и числа, конечные и бесконечные промежутки не различаются как отдельные виды промежутков.[5]

ТопологияПравить

Отношение порядка   порождает топологию   на  . В топологии   открытыми промежутками являются промежутки вида:

 
 
 
 

где  . Открытые множества же задаются как всевозможные объединения открытых промежутков.

ОкрестностиПравить

Окрестностью   точки   называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии  , всякая окрестность точки   включает один из открытых промежутков, содержащий  .

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие  -окрестности   точки расширенной числовой прямой ( ).

В случае  , то есть когда   является числом,  -окрестностью   называется множество:

 

Если же  , то:

 

а если  , то:

 

Понятие  -окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда   является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа   соответствующие окрестности уменьшаются:  .[6]

Проколотые окрестности и  -окрестности определяются соответственно как окрестность и  -окрестность, из которых удалили саму точку.

ПределыПравить

Во многих курсах матанализа часто пределы при стремления к плюс или минус бесконечности определяются отдельно. Также часто отдельно определяются равенства пределов плюс и минус бесконечноти. В   все эти ситуации укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть  , где  . В частности,   может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть  . Тогда:

 

При этом стремление к бесконечности с обеих сторон и равенство предела беззнаковой бесконечности этим определением не охватываются. Эти случа тоже могут быть охвачены общетопологическим определением предела, но уже в другой структуре, а именно в проективно расширенной числовой прямой.

Несмотря на то, что аффинно и проективно расширенные числовые прямые разные структуры, пределы в них связаны между собой. Если предел в   равен одной из бесконечностей, то в   он также равен бесконечности. Наоборот это не работает: если предел в   равен бесконечности, это ещё не значит, что в   он будет равен одной из бесконечностей. Пример этому всё тот же   в   равен бесконечности, а в   он не существует. Однако, связь между двумя структурами всё же можно сформулировать в виде утверждения в обе стороны: предел в   равен бесконечности равен бесконечности тогда и только тогда, когда в   он либо равен одной из бесконечностей, либо не существует, но при этом множество его частичных пределов состоит только из бесконечностей.

КомпактностьПравить

  — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел   является полным, но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел   может рассматриваться как двухточечная компактификация  .[2] При этом   оказывается гомеоформным отрезку  . Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм   задаётся формулой:

 

В   теорема Больцано — Вейерштрасса выполняется для любой последовательности, а не только для ограниченной. Это значит, что у любой последовательности в   существует сходящаяся в   подпоследовательность. Таким образом,   секвенциально компактно.

ОперацииПравить

Для вещественных чисел и элементов   определены следующие действия:

 

Значение выражений  ,  ,  ,   не определены.[2]

Вопреки распространённому мнению, значение выражения  , где  , тоже не определено. Доопределение этого выражение одной из бесконечностей нарушит непрерывность операции деления. Это можно проиллюстрировать на примере функции  . Её предел в нуле слева равен  , а справа  , что означает, что двустороннего предела в этой точке нет. Из-за этого как бы мы не доопределили функцию в нуле, она останется разрывной.

Часто встречающаяся запись   или   относится к принципиально другой структуре — проективно расширенной числовой прямой, в которой бесконечность представляет собой совершенно другой объект.

Алгебраические свойстваПравить

Следующие равенства означают: обе части либо обе равны, либо обе не имеют смысла

  •  
  •  
  •  
  •  

Следующие равенства верны, если их правая часть определена.

  •  

Следующие свойства верны, если обе части правого неравенства имеют смысл

  • если  , то  
  • если  , то  

См. такжеПравить

Проективно расширенная числовая прямая

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
  • Cantrell D. W. Affinely Extended Real Numbers (англ.). Wolfram Math World. Weisstein E. W.. Дата обращения: 9 января 2022.
  • Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — ISBN 5-8114-0443-3.