Промежуток (математика)

Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой — множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение можно записать так:
    $X\subset \mathbb {R}$ — промежуток, если

$\forall x\forall y\forall z{\big (}(x\in X)\wedge (z\in X)\wedge (x<y<z)\Rightarrow y\in X{\big )}.$

В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:

${\begin{aligned}X_{1}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x\leqslant 1\},&X_{2}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0\leqslant x<1\},&X_{3}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x\leqslant 1\},\\X_{4}&=\{x\in \mathbb {R} \colon 0<x<1\},&X_{5}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x>0\},&X_{6}&=\{x\in \mathbb {R} \colon x<1\},\\X_{7}&=\mathbb {R} ,&X_{8}&=\varnothing .\end{aligned}}$

Содержание

Типы промежутков

Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключенных между двумя числами $a$ и $b$ — концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет.

Если $a\leqslant b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R}$, то промежуток $\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}$ называется сегментом или числовым отрезком, и обозначается $[a,b]$:

$[a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}.$

В случае $a=b$ отрезок состоит из одной точки.

Если $a<b,a\in \mathbb {R} ,b\in \mathbb {R}$, то промежуток $\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}$ называется интервалом и обозначается $(a,b)$:

$(a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}.$

В средней школе для обозначения открытого промежутка вместо $(a,b)$ иногда используют обозначение $]a,b[$.

Промежутки

$[a,b)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\},\quad (a,b]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}$

называются полусегментами (не дополненными до сегмента) или полуинтервалами.

Длиной промежутка во всех случаях называется число $b-a$.

Бесконечные промежутки

$\{x\in \mathbb {R} \colon x\geqslant a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x\leqslant b\},\quad \{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},\quad \mathbb {R}$

не ограничены либо сверху, либо снизу каким-либо вещественным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из концов, или обоими служат несобственные числа $+\infty ,-\infty$, полагая, что для любого вещественного числа $x\in \mathbb {R}$ справедливы неравенства $x<+\infty ,x>-\infty$. Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны таковым для конечных промежутков. Например, выписанные выше бесконечные промежутки обозначаются соответственно

$[a,+\infty ),\quad (a,+\infty ),\quad (-\infty ,b],\quad (-\infty ,b),\quad (-\infty ,+\infty ).$

Пустое множество $\varnothing$ также является промежутком.

Промежутки расширенной числовой прямой

Множество вещественных чисел $\mathbb {R}$, дополненное элементами $+\infty$ и $-\infty$, называется расширенной числовой прямой и обозначается ${\overline {\mathbb {R} }}$, то есть

${\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}\cup \{-\infty \}$

При этом для любого вещественного числа $x\in \mathbb {R}$ по определению полагают выполненными неравенства

$-\infty <x,\quad x<+\infty ,\quad -\infty <+\infty$

Для расширенной числовой прямой также вводят понятия промежутков — отрезков, интервалов, полуинтервалов. В отличие от соответствующих промежутков числовой прямой они могут содержать элементы $\pm \infty$. Например, $(a,+\infty ]=(a,+\infty )\cup {\{+\infty \}}$.

Терминология

В русском языке слова промежуток и интервал соответствуют одному английскому слову interval. В англоязычной литературе и в переводах иностранных книг, а также в некоторых других книгах на русском языке используется следующая терминология:

$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x\leqslant b\}$ — замкнутый интервал (англ. closed interval),

$(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}$ — открытый интервал (англ. open interval),

$[a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leqslant x<b\}$ — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval),

$(a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leqslant b\}$ — полуоткрытый (или полузамкнутый) интервал (англ. half-open interval/half-closed interval).

То есть, различные типы интервалов.

В более старой русскоязычной литературе вместо «интервал» используется слово промежуток: замкнутый промежуток, открытый промежуток, полуоткрытый (или полузамкнутый) промежуток.

Однако, особенно в учебной литературе, где наибольшее количество теорем для функций на компактных множествах, для замкнутого промежутка предпочтительно иметь отдельное название в одно слово — сегмент (термин «отрезок» имеет скорее геометрический оттенок, как и «промежуток числовой прямой»). В этом случае термин «интервал» закрепляется только за открытым промежутком.

См. также открытые и замкнутые множества.

Факты

Теорема о промежуточных значениях

Известная теорема Больцано — Коши о промежуточных значениях непрерывной функции гласит: образ любого промежутка при непрерывном отображении снова есть промежуток. Как следует из обобщения этой теоремы на случай произвольных топологических пространств, эта теорема — следствие того факта, что промежутки — в точности связные подмножества $\mathbb {R}$. См. ниже связные множества.

Операции с промежутками

На практике промежуток нередко характеризует интервал возможных значений (приближённо) измеренной величины. На множестве таких промежутков можно определить арифметические операции. Тогда результату вычислений над величинами можно сопоставить соответствующие вычисления над их интервалами, задающие в итоге интервал возможных значений для результата.

Мера

Промежутки числовой прямой, прямоугольники на плоскости, прямоугольные параллелепипеды в пространстве и т. п. являются отправной точкой в теории меры, поскольку являются простейшими множествами, меру которых (длину, площадь, объем и т. п.) легко определить.

Обобщения

Связные множества

Обобщением промежутка числовой прямой является понятие связного топологического пространства. На числовой прямой всякое связное множество есть промежуток, и обратно, любой промежуток есть связное множество.

Также промежуток числовой прямой лежит в основе другого, более специального понятия линейной связности. Во множестве вещественных чисел $\mathbb {R}$, а также в евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ произвольной размерности $n$ понятия связности и линейной связности совпадают.

Выпуклые множества

Другим обобщением понятия промежутка числовой прямой является понятие выпуклого множества.

Промежутки в частично упорядоченных множествах

В самом общем случае понятие промежутка можно ввести на любом множестве, на котором введено отношение порядка $<$.

См. также

• Интервальная арифметика
• Отрезок