Теорема о промежуточном значении

(перенаправлено с «Теорема Больцано — Коши»)
Illustration for the intermediate value theorem.svg

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном промежутке, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

ФормулировкаПравить

Пусть дана непрерывная функция на отрезке   Пусть также   и без ограничения общности предположим, что   Тогда для любого   существует   такое, что  

СледствияПравить

  • (Теорема о нуле непрерывной функции.) Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Формально: пусть   и   Тогда   такое, что  
  • В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль.

ЗамечаниеПравить

  • Иногда (в учебных курсах) утверждение для нуля называется первой теоремой Больцано — Коши, а общее утверждение — второй теоремой соответственно[1]. На самом деле они эквивалентны.[2]

ОбобщениеПравить

Теорема Больцано — Коши допускает обобщение на более общие топологические пространства. Всякая непрерывная функция  , определенная на связном топологическом пространстве, принимающая какие-либо два значения, принимает и любое лежащее между ними. Формальная запись: пусть дано связное топологическое пространство   и функция   Пусть   и   Тогда

 

В такой формулировке теорема является частным случаем теоремы о том, что образ связного множества при непрерывном отображении связен.

ИсторияПравить

Теорема была сформулирована независимо Больцано в 1817 и Коши в 1821.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — 528 с.