Линейно связное пространство

Лине́йно свя́зное простра́нство — это топологическое пространство, в котором любые две точки можно соединить непрерывной кривой.

Линейно связное подмножество евклидовой плоскости

Определения

править

Связанные определения

править
  • Каждое линейно связное подмножество пространства   содержится в некотором максимальном линейно связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами линейной связности пространства  [2].
    • Пространство, в котором каждая компонента линейной связности состоит из одной точки, называется вполне линейно несвязным (по аналогии с вполне несвязным пространством).
  • Если существует база топологии пространства  , состоящая из линейно связных открытых множеств, тогда топология пространства   и само пространство   (в этой топологии) называются локально линейно связными[3].

Примеры

править
 
Замыкание графика функции   — пример связного, но не линейно связного множества.
  • Прямая, окружность, выпуклое подмножество евклидова пространства — примеры линейно связных пространств[4].
  • Дополнение  , где   — объединение не более чем счетного числа аффинных подпространств в   коразмерности 2 и больше.
  • Замыкание графика функции   при   — пример связного пространства, которое не является линейно связным. Это пространство имеет две компоненты линейной связности: график функции при x > 0, и отрезок   на оси ординат[5].
  • Псевдодуга — пример связного, но вполне линейно несвязного пространства.

Свойства

править

Линейная связность на числовой прямой

править

Будем считать, что  , а   — стандартная топология числовой прямой. Тогда[5]

  • Подмножество   линейно связно тогда и только тогда, когда
     
то есть любые две точки входят в него вместе с соединяющим их отрезком.
  • Любое линейно связное подмножество числовой прямой является конечным или бесконечным открытым, полуоткрытым или замкнутым интервалом:
     
  • Подмножество числовой прямой линейно связно тогда и только тогда, когда оно связно.

Обобщение

править

Многомерным обобщением линейной связности является  -связность (связность в размерности  ). Пространство   называется связным в размерности  , если любые два отображения  -мерной сферы   в  , где  , гомотопны. В частности,  -связность — это то же, что линейная связность, а  -связность — то же, что односвязность[7].

Примечания

править

Литература

править
  • Фоменко, А. Т., Фукс, Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5-02-013929-7.
  • Виро, О. Я., Иванов, О. А., Нецветаев, Н. Ю., Харламов, В. М.. Элементарная топология. — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.