Псевдодуга

Псевдодуга — простейший пример континуума , который наследственно несжимаем, то есть любой подконтинуум не может быть представлен как объединение двух собственных подконтинуумов.

ПостроениеПравить

Непрерывное отображение   из отрезка на отрезок называется  -скрюченным если для любых значений   в интервале   найдутся значения   такие, что

  и  .

Псевдодугу можно построить как проективный предел последовательности  -скрюченных отображений   для подходящей последовательности   достаточно быстро сходящейся к нулю.

Связанные определенияПравить

  • Континуум называется змеевидным, если для любого его покрытия найдётся конечное вписанное покрытие  ,   такое, что   тогда и только тогда, когда  .

СвойстваПравить

  • Псевдодуга вкладывается в евклидову плоскость.
  • Никакие две точки псевдодуги не могут быть соединены путём,
  • Существует область   в евклидовой плоскости гомеоморфная диску такая, что каждый нетривиальный собственный подконинуум   гомеоморфен псевдодуге.
  • Любой нетривиальный подконтинуум псевдодуги гомеоморфен псевдодуге.
  • В пространстве всех подконтинуумов куба  ,   с метрикой Хаусдорфа псевдодуги образуют плотное G-дельта-множество.
  • Псевдодуга является единственным с точностью до гомеоморфизма змеевидным наследственно несжимаем континуумом.

ИсторияПравить

Первый пример несжимаемого континуума был построен Брауэром в 1910 году. Вопрос о существовании наследственно несжимаемого континуума был поставлен Куратовским и Кнастером.[1] Вскоре пример был построен Кнастером[2].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Knaster, B.; Kuratowski, C. Sur les ensembles connexes. Fundamenta math. 2, 206—255 (1921).
  2. Knaster, B. Un continu dont tout sous-continu est indécomposable. Fundamenta math. 3, 247—286 (1922).

ЛитератураПравить

  • И. М. Виноградов. Псевдодуга // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.