Вполне несвязное пространство

В топологии и связанных разделах математики вполне несвязное пространство (наследственно несвязное, дисперсное) — это топологическое пространство, которое не имеет нетривиальных связных подмножеств. В любом топологическом пространстве пустое множество и одноточечные множества — связные. Во вполне несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером вполне несвязного пространства является множество Кантора. Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел, является поле p-адических чисел .

ОпределениеПравить

Топологическое пространство X называется вполне несвязным, если связными компонентами X являются только одноточечные множества.

ПримерыПравить

СвойстваПравить

Конструирование несвязного пространстваПравить

Пусть   — произвольное топологическое пространство. Пусть   тогда и только тогда, когда   (где   обозначает максимальное связное подмножество, содержащее  ). Очевидно, отношение   является отношением эквивалентности, следовательно можно построить соответствующее факторпространство   Топология на   естественным образом индуцируется топлогией на   а именно, открытые подмножества   — это в точности те множества классов эквивалентности, прообраз которых при отображении факторизации является открытым в   Приложив немного усилий, можно показать, что   является вполне несвязным. Мы также имеем следующее универсальное свойство: если   — непрерывное отображение во вполне несвязное пространство, то оно единственным образом представимо в виде   где отображение   непрерывно, а   — отображение факторизации.

См. такжеПравить

СсылкиПравить